V "sistemu enačb" morate hkrati rešiti dve ali več enačb. Ko imata enačbi dve različni spremenljivki, na primer x in y, se lahko rešitev sprva zdi težka. Na srečo, ko veste, kaj morate storiti, lahko preprosto uporabite svoje algebrske spretnosti (in znanost o izračunavanju ulomkov) za rešitev problema. Naučite se tudi risati ti dve enačbi, če ste vizualni učenec ali če to zahteva učitelj. Risbe vam bodo pomagale prepoznati vsebino ali preveriti rezultate vašega dela. Vendar je ta metoda počasnejša od drugih metod in je ni mogoče uporabiti za vse sisteme enačb.
Korak
Metoda 1 od 3: Uporaba nadomestne metode
Korak 1. Premaknite spremenljivke na nasprotno stran enačbe
Metoda substitucije se začne z "iskanjem vrednosti x" (ali katere koli druge spremenljivke) v eni od enačb. Recimo, da je enačba problema 4x + 2y = 8 in 5x + 3y = 9. Začnite z delom na prvi enačbi. Enačbo preuredite tako, da na obeh straneh odštejete 2y. Tako dobite 4x = 8 - 2y.
Ta metoda pogosto uporablja ulomke na koncu. Če vam ni všeč štetje ulomkov, poskusite spodnjo metodo izločanja
Korak 2. Razdelite obe strani enačbe, da "poiščete vrednost x"
Ko je izraz x (ali kakršna koli spremenljivka, ki jo uporabljate) sam na eni strani enačbe, delite obe strani enačbe s koeficienti, tako da ostane le spremenljivka. Kot primer:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Korak 3. Vstavite vrednost x iz prve enačbe v drugo enačbo
Poskrbite, da ga vključite v drugo enačbo, namesto v tisto, na kateri ste pravkar delali. Nadomestite (zamenjajte) spremenljivko x v drugi enačbi. Tako ima druga enačba zdaj samo eno spremenljivko. Kot primer:
- Je znan x = 2 - y.
- Vaša druga enačba je 5x + 3y = 9.
- Po zamenjavi spremenljivke x v drugi enačbi z vrednostjo x iz prve enačbe dobimo "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Korak 4. Rešite preostale spremenljivke
Zdaj ima vaša enačba samo eno spremenljivko. Izračunajte enačbo z običajnimi algebarskimi operacijami, da poiščete vrednost spremenljivke. Če se dve spremenljivki medsebojno prekličeta, pojdite naravnost na zadnji korak. V nasprotnem primeru boste dobili vrednost za eno od spremenljivk:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Če tega koraka ne razumete, se naučite dodajati ulomke.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Korak 5. S pridobljenim odgovorom poiščite pravo vrednost x v prvi enačbi
Ne ustavite se, ker vaši izračuni še niso končani. Pridobljeni odgovor morate priključiti v prvo enačbo, da poiščete vrednost preostalih spremenljivk:
- Je znan y = -2
- Ena od enačb v prvi enačbi je 4x + 2y = 8. (Uporabite lahko eno ali drugo.)
- Spremenljivko y zamenjajte z -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Korak 6. Vedite, kaj storiti, če se dve spremenljivki medsebojno prekličeta
Ko vstopite x = 3y+2 ali podoben odgovor na drugo enačbo, kar pomeni, da poskušate dobiti enačbo, ki ima samo eno spremenljivko. Včasih preprosto dobite enačbo brez spremenljivka. Dvakrat preverite svoje delo in se prepričajte, da ste enačbo ena preuredili v enačbo dve, namesto da se vrnete na prvo enačbo. Ko ste prepričani, da niste storili nič narobe, napišite enega od naslednjih rezultatov:
- Če enačba nima spremenljivk in ni res (na primer 3 = 5), se pojavi ta problem nimajo odgovora. (Ko je to prikazano, sta ti enačbi vzporedni in se nikoli ne srečata.)
- Če enačba nima spremenljivk in Pravilno, (npr. 3 = 3), kar pomeni, da ima vprašanje neomejeno število odgovorov. Enačba ena je popolnoma enaka enačbi dve. (Ko sta ti dve enačbi označeni, sta enaka črta.)
Metoda 2 od 3: Uporaba metode izločanja
Korak 1. Poiščite medsebojno izključujoče spremenljivke
Včasih je enačba v problemu že preklicati drug drugega ko se sešteje. Če na primer naredite enačbo 3x + 2y = 11 in 5x - 2y = 13, izraza "+2y" in "-2y" se bosta medsebojno izbrisala in spremenljivko "y" odstranila iz enačbe. Poglejte enačbo v problemu in preverite, ali obstajajo spremenljivke, ki se medsebojno izničijo, kot v primeru. Če ne, nadaljujte z naslednjim korakom.
Korak 2. Enačbo pomnožite z eno, da odstranite eno spremenljivko
(Preskočite ta korak, če se spremenljivke že medsebojno prekličejo.) Če enačba nima spremenljivk, ki bi se izničile same, spremenite eno od enačb, tako da se lahko izničijo. Za lažje razumevanje si oglejte naslednje primere:
- Enačbe v problemu so 3x - y = 3 in - x + 2y = 4.
- Prvo enačbo spremenimo tako, da bo spremenljivka y preklicati drug drugega. (Lahko uporabite spremenljivko x. Končni odgovor bo enak.)
- Spremenljivka - y v prvi enačbi je treba odpraviti z + 2 leta v drugi enačbi. Kako, pomnožite - y z 2.
- Obe strani enačbe pomnožite z 2: 2 (3x - y) = 2 (3), torej 6x - 2y = 6. Zdaj, pleme - 2 leti se bosta preklicala z +2 leta v drugi enačbi.
Korak 3. Združite dve enačbi
Trik je v tem, da desni strani prve enačbe dodamo desno stran prve enačbe, levi strani druge enačbe pa dodamo levo stran prve enačbe. Če se vse naredi pravilno, se ena od spremenljivk izniči. Poskusimo nadaljevati izračun iz prejšnjega primera:
- Vaši dve enačbi sta 6x - 2y = 6 in - x + 2y = 4.
- Seštejte levi strani dveh enačb: 6x - 2y - x + 2y =?
- Seštejte desni strani dveh enačb: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Korak 4. Pridobite zadnjo vrednost spremenljivke
Poenostavite svojo sestavljeno enačbo in uporabite standardno algebro, da dobite vrednost zadnje spremenljivke. Če po poenostavitvi enačba nima spremenljivk, nadaljujte do zadnjega koraka v tem razdelku.
V nasprotnem primeru boste dobili vrednost za eno od spremenljivk. Kot primer:
- Je znan 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Skupinske spremenljivke x in y skupaj: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Poenostavite enačbo: 5x = 10
- Poiščite vrednost x: (5x)/5 = 10/5, za pridobitev x = 2.
Korak 5. Poiščite vrednost druge spremenljivke
Ugotovili ste vrednost ene spremenljivke, kaj pa druga? Odgovor vključite v eno od enačb, da poiščete vrednost preostale spremenljivke. Kot primer:
- Je znan x = 2in ena od enačb v problemu je 3x - y = 3.
- Spremenljivko x zamenjajte z 2: 3 (2) - y = 3.
- V enačbi poiščite vrednost y: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, torej 6 = 3 + y
- 3 = y
Korak 6. Vedite, kaj storiti, ko se dve spremenljivki medsebojno prekličeta
Včasih kombinacija dveh enačb povzroči enačbo, ki nima smisla ali pa vam ne pomaga rešiti problema. Preglejte svoje delo in če ste prepričani, da niste naredili nič narobe, napišite enega od naslednjih dveh odgovorov:
- Če kombinirana enačba nima spremenljivk in ni res (na primer 2 = 7), se pojavi ta problem nimajo odgovora. Ta odgovor velja za obe enačbi. (Ko je to prikazano, sta ti enačbi vzporedni in se nikoli ne srečata.)
- Če kombinirana enačba nima spremenljivk in Pravilno, (npr. 0 = 0), kar pomeni, da ima vprašanje neomejeno število odgovorov. Ti dve enačbi sta med seboj enaki. (Ko sta ti dve enačbi označeni, sta enaka črta.)
Metoda 3 od 3: Narišite graf enačb
Korak 1. To metodo izvedite le po navodilih
Če ne uporabljate računalnika ali grafičnega kalkulatorja, lahko ta metoda zagotovi le približne odgovore. Vaš učitelj ali učbenik vam bo morda naročil, da uporabite to metodo, da se navadite risati enačbe kot črte. To metodo lahko uporabite tudi za preverjanje odgovora na eno od zgornjih metod.
Glavna ideja je, da morate opisati dve enačbi in najti njuno presečišče. Vrednost x in y na tem presečišču je odgovor na težavo
Korak 2. Poiščite vrednosti y obeh enačb
Ne združujte dveh enačb in spremenite vsako enačbo tako, da bo oblika "y = _x + _". Kot primer:
- Vaša prva enačba je 2x + y = 5. Spremenite v y = -2x + 5.
- Vaša prva enačba je - 3x + 6y = 0. Spremenite v 6y = 3x + 0in poenostavite y = x + 0.
- Če sta vaši enačbi popolnoma enaki, celotna črta je "presečišče" dveh enačb. Pišite neomejeno število odgovorov kot odgovor.
Korak 3. Narišite koordinatne osi
Na grafični papir narišite navpično črto "osi y" in vodoravno črto "osi x". Začenši na točki, kjer se osi sekata (0, 0), zapišite številske oznake 1, 2, 3, 4 itd., Ki zaporedno kažejo navzdol na osi y in kažejo na desno na osi x. Po tem zapišite številske oznake -1, -2 itd., Ki zaporedno kažejo navzdol na osi y in kažejo na levo na osi x.
- Če nimate grafičnega papirja, se z ravnilom prepričajte, da je razmik med vsako številko popolnoma enak.
- Če uporabljate velika števila ali decimalke, priporočamo, da grafikon povečate (npr. 10, 20, 30 ali 0, 1, 0, 2, 0, 3 namesto 1, 2, 3).
Korak 4. Narišite točko preseka y za vsako enačbo
Če je enačba v obliki y = _x + _, lahko začnete risati graf tako, da naredite točko, kjer se črta enačbe seka z osjo y. Vrednost y je vedno enaka zadnji številki v enačbi.
-
Nadaljujemo s prejšnjim primerom, prvo vrstico (y = -2x + 5) seka os y pri
5. korak.. druga vrstica (y = x + 0) seka os y pri 0. (Te točke so na grafu zapisane kot (0, 5) in (0, 0).)
- Če je mogoče, narišite prvo in drugo vrstico z različnimi barvnimi svinčniki ali svinčniki.
Korak 5. S pobočjem nadaljujte črto
V obliki enačb y = _x + _, številka pred x označuje "raven naklona" črte. Vsakič, ko se x poveča za eno, se vrednost y poveča za število ravni nagiba. S temi informacijami poiščite točke za vsako vrstico na grafu, ko je x = 1. (V vsako enačbo lahko vnesete tudi x = 1 in poiščete vrednost y.)
- Nadaljevanje prejšnjega primera, vrstica y = -2x + 5 ima naklon - 2. V točki x = 1 se črta premakne dol za 2 iz točke x = 0. Nariši črto, ki povezuje (0, 5) z (1, 3).
- Linija y = x + 0 ima naklon ½. Pri x = 1 se črta premakne vožnja iz točke x = 0. Narišite črto, ki povezuje (0, 0) z (1,).
- Če imata dve črti enak nagib, se nikoli ne bosta križala. Tako ta sistem enačb nima odgovora. Pišite ni odgovora kot odgovor.
Korak 6. Nadaljujte s povezovanjem črt, dokler se dve črti ne križata
Ustavite delo in si oglejte svoj graf. če sta se ti dve črti prekrižali, nadaljujte z naslednjim korakom. Če ne, se odločite na podlagi položaja vaših dveh vrstic:
- Če se ti dve vrstici približata, nadaljujte s povezovanjem pik črt.
- Če se dve črti oddaljujeta drug od drugega, se vrnite nazaj in pike povežite v nasprotnih smereh, začenši pri x = 1.
- Če sta ti dve črti zelo oddaljeni, poskusite preskočiti in točke povezati dlje, na primer x = 10.
Korak 7. Poiščite odgovor na presečišču
Ko se dve črti križata, je vrednost x in y na tej točki odgovor na vašo težavo. Če imate srečo, bo odgovor celo število. Na primer, v našem primeru se dve črti sekata na točki (2, 1) torej je odgovor x = 2 in y = 1. V nekaterih sistemih enačb je točka, kjer se črta preseka, med dvema celima številkama, in če graf ni zelo natančen, je težko določiti, kje sta vrednosti x in y na presečišču. Če je dovoljeno, lahko kot odgovor napišete »x je med 1 in 2« ali pa z iskanjem odgovora uporabite metodo zamenjave ali odprave.
Nasveti
- Svoje delo lahko preverite tako, da odgovore vključite v prvotno enačbo. Če se enačba izkaže za resnično (npr. 3 = 3), to pomeni, da je vaš odgovor pravilen.
- Pri uporabi metode izločanja morate včasih enačbo pomnožiti z negativnim številom, da se lahko spremenljivke medsebojno izničijo.
