Kvadratna enačba je enačba, katere najvišja stopnja je 2 (na kvadrat). Obstajajo trije glavni načini za reševanje kvadratne enačbe: če je mogoče, faktoring kvadratne enačbe uporabite kvadratno formulo ali izpolnite kvadrat. Če želite obvladati te tri metode, sledite tem korakom.
Korak
Metoda 1 od 3: Faktoring faktorjev
Korak 1. Združite vse enake spremenljivke in jih premaknite na eno stran enačbe
Prvi korak k faktoringu enačbe je premakniti vse enake spremenljivke na eno stran enačbe z x2je pozitivno. Če želite združiti spremenljivke, dodajte ali odštejte vse spremenljivke x2, x in konstante (cela števila) jih premaknite na drugo stran enačbe, tako da na drugi strani ne ostane nič. Če druga stran nima preostalih spremenljivk, zraven znaka enakosti napišite 0. To storite tako:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Korak 2. To enačbo faktorja
Za faktorjenje te enačbe morate uporabiti faktor x2 (3) in konstantni faktor (-4), ki jih pomnožimo in dodamo, da se spremenljivka prilega sredini, (-11). To storite tako:
- 3x2 ima samo en možen faktor, 3x in x, lahko jih zapišete v oklepaju: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Nato uporabite postopek izločanja za faktor 4, da poiščete produkt, ki daje -11x. Uporabite lahko zmnožek 4 in 1 ali 2 in 2, ker ko pomnožite oboje, dobite 4. Toda ne pozabite, da mora biti eno od številk negativno, ker je rezultat -4.
- Poskusite (3x + 1) (x - 4). Ko pomnožite, je rezultat - 3x2 -12x +x -4. Če združite spremenljivki -12 x in x, je rezultat -11x, kar je vaša srednja vrednost. Pravkar ste upoštevali kvadratno enačbo.
- Poskusimo na primer faktoriti drugi produkt: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Če združite spremenljivke, je rezultat 3x2 -4x -4. Čeprav faktorji -2 in 2 pri množenju dobita -4, povprečje ni enako, ker želite dobiti vrednost -11x namesto -4x.
Korak 3. Predpostavimo, da je vsak oklepaj nič v drugačni enačbi
Tako boste našli 2 x vrednosti, zaradi katerih bo vaša enačba nič. Enačbo ste upoštevali, zato morate le domnevati, da je izračun v vsakem oklepaju enak nič. Tako lahko zapišete 3x + 1 = 0 in x - 4 = 0.
Korak 4. Vsako enačbo rešite posebej
V kvadratni enačbi obstajata 2 vrednosti za x. Vsako enačbo rešite ločeno s premikanjem spremenljivk in zapisom dveh odgovorov za x, takole:
-
Reši 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. z odštevanjem
- 3x/3 = -1/3….. z deljenjem
- x = -1/3….. s poenostavitvijo
-
Reši x - 4 = 0
x = 4….. z odštevanjem
- x = (-1/3, 4)….. tako, da ločite več možnih odgovorov, kar pomeni, da sta x = -1/3 ali x = 4 oba pravilna.
Korak 5. Preverite x = -1/3 in (3x + 1) (x -4) = 0:
Tako dobimo (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. z zamenjavo (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. s poenostavitvijo (0) (-4 1/3) = 0….. z množenjem Torej, 0 = 0….. Da, x = -1/3 je res.
Korak 6. Preverite x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Tako dobimo (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. z zamenjavo (13) (4 - 4)? =? 0….. s poenostavitvijo (13) (0) = 0….. z množenjem Torej, 0 = 0….. Da, x = 4 je tudi res.
Torej, po ločenem preverjanju sta oba odgovora pravilna in jih je mogoče uporabiti v enačbah
Metoda 2 od 3: Uporaba kvadratne formule
Korak 1. Združite vse enake spremenljivke in jih premaknite na eno stran enačbe
Vse spremenljivke premaknite na eno stran enačbe z vrednostjo spremenljivke x2 pozitivno. Zapišite spremenljivke z zaporednimi eksponenti, tako da bo x2 najprej zapisano, sledijo spremenljivke in konstante. To storite tako:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Korak 2. Zapišite kvadratno formulo
Kvadratna formula je: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Korak 3. Določite vrednosti a, b in c iz kvadratne enačbe
Spremenljivka a je koeficient x2, b je koeficient spremenljivke x, c pa konstanta. Za enačbo 3x2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 in c = -8. Zapiši vse tri.
Korak 4. V enačbo nadomestite vrednosti a, b in c
Ko poznate tri spremenljive vrednosti, jih vključite v enačbo, kot je ta:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Korak 5. Izvedite izračune
Ko vnesete številke, naredite nekaj matematike, da poenostavite pozitivni ali negativni predznak, pomnožite ali kvadrat preostale spremenljivke. To storite tako:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Korak 6. Poenostavite kvadratni koren
Če je število pod kvadratnim korenom popoln kvadrat, dobite celo število. Če število ni popoln kvadrat, poenostavite na najpreprostejšo korensko obliko. Če je število negativno in menite, da bi moralo biti negativno, bo osnovna vrednost zapletena. V tem primeru je (121) = 11. Lahko napišete x = (5 +/- 11)/6.
Korak 7. Poiščite pozitivne in negativne odgovore
Ko odstranite znak kvadratnega korena, lahko poiščete pozitiven in negativen rezultat za x. Zdaj, ko imate (5 +/- 11)/6, lahko napišete 2 odgovora:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Korak 8. Izpolnite pozitivne in negativne odgovore
Izvedite matematične izračune:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Korak 9. Poenostavite
Če želite poenostaviti vsak odgovor, ga delite z največjim številom, ki lahko deli obe številki. Prvi ulomek delite z 2, drugega pa s 6, in našli ste vrednost x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Metoda 3 od 3: Dopolnite kvadrat
Korak 1. Vse spremenljivke premaknite na eno stran enačbe
Prepričajte se, da je a ali spremenljivka x2 pozitivno. To storite tako:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
V tej enačbi je spremenljivka a 2, spremenljivka b je -12 in spremenljivka c je -9
Korak 2. Premaknite spremenljivko ali konstanto c na drugo stran
Konstante so številski izrazi brez spremenljivk. Premaknite se na desno stran enačbe:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Korak 3. Obe strani delite s koeficientom a ali spremenljivko x2.
Če x2 nima spremenljivke in je koeficient 1, lahko ta korak preskočite. V tem primeru morate vse spremenljivke razdeliti na 2, na primer:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
Korak 4. Delimo b z 2, ga kvadratimo in dodamo rezultat na obe strani
Vrednost b v tem primeru je -6. To storite tako:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Korak 5. Poenostavite obe strani
Če spremenite spremenljivko na levi strani, dobite (x-3) (x-3) ali (x-3)2. Dodajte vrednosti na desni, da dobite 9/2 + 9 ali 9/2 + 18/2, kar je 27/2.
Korak 6. Poiščite kvadratni koren za obe strani
Kvadratni koren (x-3)2 je (x-3). Kvadratni koren 27/2 lahko zapišete kot ± √ (27/2). Tako je x - 3 = ± √ (27/2).
Korak 7. Poenostavite korenine in poiščite vrednost x
Če želite poenostaviti ± √ (27/2), poiščite popoln kvadrat med številima 27 in 2 ali to številko faktorja. Popoln kvadrat 9 je mogoče najti v 27, ker je 9 x 3 = 27. Če želite vzeti 9 iz kvadratnega korena, vzemite 9 iz korena in napišite 3, kvadratni koren, zunaj kvadratnega korena. Preostanek 3 pustite v števcu ulomka pod kvadratnim korenom, saj 27 ne upošteva vseh faktorjev, spodaj pa zapišite 2. Nato premaknite konstanto 3 na levi strani enačbe v desno in napišite dve rešitvi za x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Nasveti
- Kot lahko vidite, korenske oznake ne bodo popolnoma izginile. Tako številskih spremenljivk ni mogoče združiti (ker niso enake). Nima smisla ločevati na pozitivno ali negativno. Lahko pa ga razdelimo na isti faktor, vendar SAMO če so faktorji enaki za obe konstanti IN koreninski koeficient.
- Če številka pod kvadratnim korenom ni popoln kvadrat, so zadnji koraki nekoliko drugačni. Tukaj je primer:
- Če je b sodo število, formula postane: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
