3 načini reševanja kubičnih enačb

2024 Avtor: Jason Gerald | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-16 19:57

Ko prvič najdete kubično enačbo (ki je v obliki ax ³ + bx ² + cx + d = 0), morda mislite, da bo težavo težko rešiti. Toda vedite, da reševanje kubičnih enačb dejansko obstaja že stoletja! Ta rešitev, ki sta jo leta 1500 odkrila italijanska matematika Niccolò Tartaglia in Gerolamo Cardano, je ena prvih formul, znanih v stari Grčiji in Rimu. Reševanje kubičnih enačb je lahko nekoliko težavno, toda s pravilnim pristopom (in dovolj znanja) je mogoče rešiti tudi najtežje kubične enačbe.

Korak

Metoda 1 od 3: Reševanje z uporabo kvadratnih enačb

Korak 1. Preverite, ali ima vaša kubična enačba konstanto

Kot je navedeno zgoraj, je oblika kubične enačbe ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c in vrednost d je lahko 0, ne da bi to vplivalo na obliko te kubične enačbe; to v bistvu pomeni, da kubična enačba ne vključuje vedno vrednosti bx ², cx ali d je kubična enačba. Če želite začeti uporabljati ta dokaj enostaven način reševanja kubičnih enačb, preverite, ali ima vaša kubična enačba konstanto (ali vrednost d). Če vaša enačba nima konstante ali vrednosti za d, lahko s pomočjo kvadratne enačbe po nekaj korakih poiščete odgovor na kubično enačbo.

Po drugi strani pa, če ima vaša enačba konstantno vrednost, boste potrebovali drugo rešitev. Za druge pristope glejte spodnje korake

Korak 2. Iz kubične enačbe upoštevajte vrednost x

Ker vaša enačba nima konstantne vrednosti, imajo vse komponente v njej spremenljivko x. To pomeni, da je to vrednost x mogoče izvzeti iz enačbe, da jo poenostavimo. Naredite ta korak in kubično enačbo prepišite v obliki x (ax ² + bx + c).

Recimo na primer, da je izvirna kubična enačba 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. S faktorjenjem ene spremenljivke x iz te enačbe dobimo enačbo x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Korak 3. S kvadratnimi enačbami rešite enačbe v oklepajih

Morda boste opazili, da so nekatere vaše nove enačbe, ki so zaprte v oklepajih, v obliki kvadratne enačbe (ax ² + bx + c). To pomeni, da lahko vrednost, ki je potrebna, da bi bila enačba enaka nič, vstavimo a, b in c v formulo kvadratne enačbe ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). Izvedite te izračune in poiščite dva odgovora na svojo kubično enačbo.

• V našem primeru vrednosti a, b in c (3, -2 oziroma 14) priključite v kvadratno enačbo na naslednji način:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Odgovor 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i}/6

• Odgovor 2:

  {2 - 12,8 i}/6

Korak 4. Kot odgovor na svojo kubično enačbo uporabite ničle in svoj odgovor na svojo kvadratno enačbo

Kvadratne enačbe bodo imele dva odgovora, kubične enačbe pa tri odgovore. Dva od treh odgovorov že poznate; ki ga dobite iz "kvadratnega" dela enačbe v oklepaju. Če lahko svojo kubično enačbo rešite s takšno "faktorizacijo", je vaš tretji odgovor skoraj vedno 0. Varno! Pravkar ste rešili kubično enačbo.

Razlog, zaradi katerega ta metoda deluje, je temeljno dejstvo, da je "vsako število, pomnoženo z nič, enako nič". Ko enačbo preračunate v obliko x (ax ² + bx + c) = 0, v bistvu ga preprosto razdelite na dva "dela"; en del je spremenljivka x na levi strani, drugi del pa je kvadratna enačba v oklepaju. Če je eden od teh dveh delov nič, bo tudi celotna enačba nič. Tako sta dva odgovora na kvadratno enačbo v oklepajih, zaradi česar bi bila enaka nič, odgovora na kubično enačbo, pa tudi na 0 - zaradi česar bi bil del na levi strani tudi nič.

Metoda 2 od 3: Iskanje celobrojnih odgovorov s pomočjo seznama faktorjev

Korak 1. Poskrbite, da ima vaša kubična enačba konstantno vrednost

Medtem ko so zgoraj opisane metode dokaj enostavne za uporabo, ker se vam za njihovo uporabo ni treba naučiti nove tehnike izračuna, vam ne bodo vedno pomagale pri reševanju kubičnih enačb. Če je vaša kubična enačba oblike ax ³ + bx ² + cx + d = 0, kjer vrednost d ni enaka nič, zgornja metoda "faktorizacije" ne deluje, zato boste za rešitev tega morali uporabiti eno od metod v tem razdelku.

Recimo, da imamo enačbo 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. V tem primeru, da dobimo nič na desni strani enačbe, moramo na obe strani dodati 6. Po tem bomo dobili novo enačbo 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, z vrednostjo d = 6, zato ne moremo uporabiti metode "faktorizacije" kot v prejšnji metodi.

2. korak Poiščite faktorja a in d

Če želite rešiti svojo kubično enačbo, začnite z iskanjem faktorja a (koeficient x ³) in d (konstantna vrednost na koncu enačbe). Ne pozabite, da so faktorji številke, ki jih je mogoče med seboj pomnožiti, da dobimo določeno število. Na primer, ker lahko dobite 6 z množenjem 6 × 1 in 2 × 3, so 1, 2, 3 in 6 faktorji 6.

• V primeru problema, ki ga uporabljamo, je a = 2 in d = 6. Faktor 2 je 1 in 2. Medtem ko je faktor 6 1, 2, 3 in 6.

  

  Korak 3. Delite faktor a na faktor d

  Nato naštejte vrednosti, ki jih dobite tako, da vsak faktor a delite z vsakim faktorjem d. Ta izračun običajno povzroči veliko delnih vrednosti in več celih števil. Celotna vrednost za rešitev vaše kubične enačbe je eno od celih števil, pridobljenih iz izračuna.

  V naši enačbi delite vrednost faktorja a (1, 2) s faktorjem d (1, 2, 3, 6) in dobite naslednje rezultate: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 in 2/3. Nato na seznam dodajte negativne vrednosti in dobimo: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 in -2/3. Odgovor na kubično enačbo - ki je celo število, je na seznamu.

  

  Korak 4. S pomočjo sintetične delitve ročno preverite svoje odgovore

  Ko imate seznam vrednosti, kot je zgornji, lahko poiščete celoštevilčne vrednosti, ki so odgovori na vašo kubično enačbo, tako da ročno vnesete vsako celo število in ugotovite, katera vrednost vrne nič. Če pa za to ne želite porabiti časa, obstaja način, kako to narediti hitreje, in sicer z izračunom, imenovanim sintetična delitev. V bistvu bi svojo celoštevilsko vrednost delili s prvotnimi koeficienti a, b, c in d v svoji kubični enačbi. Če je ostanek nič, potem je ta vrednost eden od odgovorov na vašo kubično enačbo.

  • Sintetična delitev je zapletena tema - za več informacij glejte spodnjo povezavo. Tu je primer, kako s sintetično delitvijo poiskati enega od odgovorov na svojo kubično enačbo:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Ker dobimo končni rezultat enak 0, vemo, da je eden od celobrojnih odgovorov na našo kubično enačbo enak - 1.

  Metoda 3 od 3: Uporaba diskriminatornega pristopa

  

  Korak 1. Zapišite enačbe a, b, c in d

  Da bi na ta način našli odgovor na kubično enačbo, bomo naredili veliko izračunov s koeficienti v naši enačbi. Zaradi tega je dobro zapisati vrednosti a, b, c in d, preden pozabite na katero koli vrednost.

  Na primer za enačbo x ³ - 3 x ² + 3 x -1, zapišite kot a = 1, b = -3, c = 3 in d = -1. Ne pozabite, da če spremenljivka x nima koeficienta, je njena vrednost 1.

  

  Korak 2. Izračunajte 0 = b ² - 3 klimatske naprave.

  Diskriminacijski pristop k iskanju odgovorov na kubične enačbe zahteva zapletene izračune, če pa natančno sledite korakom, je lahko zelo koristen za reševanje kubičnih enačb, ki jih je težko rešiti na druge načine. Za začetek poiščite vrednost 0, ki je prva pomembna vrednost od več, ki jih potrebujemo, in ustrezno vrednost vključite v formulo b ² - 3 klimatske naprave.

  • V primeru, ki ga uporabljamo, ga bomo rešili na naslednji način:

    b ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Korak 3. Izračunajte 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Naslednja pomembna vrednost, ki jo potrebujemo, 1, zahteva daljši izračun, vendar jo je mogoče najti na enak način kot 0. V formulo 2 b vstavite ustrezno vrednost ³ - 9 abc + 27 a ² d, da dobite vrednost 1.

  • V tem primeru ga rešimo na naslednji način:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Korak 4. Izračunajte = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Nato izračunamo "diskriminatorno" vrednost vrednosti 0 in 1. Diskriminator je število, ki vam daje informacije o korenu polinoma (morda ste se nezavedno spomnili kvadratne diskriminatorne formule: b ² - 4 klimatske naprave). V primeru kubične enačbe, če je vrednost diskriminante pozitivna, ima enačba tri realne številčne odgovore. Če je diskriminatorna vrednost enaka nič, potem ima enačba en ali dva resnična števila odgovorov, nekateri odgovori pa imajo enako vrednost. Če je vrednost negativna, ima enačba samo en odgovor na realno število, ker bo graf enačbe vedno vsaj enkrat presekal os x.)

  • V tem primeru, ker sta 0 in 1 = 0, je zelo enostavno najti vrednost. Izračunati ga moramo le na naslednji način:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, torej ima naša enačba 1 ali 2 odgovora.

  

  Korak 5. Izračunajte C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Zadnja vrednost, ki jo moramo pridobiti, je vrednost C. Ta vrednost nam omogoča, da dobimo vse tri korenine naše kubične enačbe. Rešite kot običajno in v formulo vključite vrednosti 1 in 0.

  • V tem primeru bomo vrednost C dobili z:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Korak 6. Izračunajte tri korenine enačbe s svojo spremenljivko

  Koren (odgovor) vaše kubične enačbe je določen s formulo (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, kjer je u = (-1 + (-3))/2 in n enako 1, 2 ali 3. Vključite svoje vrednosti v formulo, da jih rešite-morda morate narediti kar nekaj izračunov, vendar bi morali dobiti vse tri odgovore na svoje kubične enačbe!

  • V tem primeru bi ga lahko rešili s preverjanjem odgovorov, ko je n enako 1, 2 in 3. Odgovor, ki ga dobimo iz tega izračuna, je možen odgovor na našo kubično enačbo - katero koli vrednost, ki jo vstavimo v kubično enačbo, in daje isti rezultat. z 0 je pravilen odgovor. Na primer, če dobimo odgovor, enak 1, če v enem od naših poskusov izračuna vključimo vrednost 1 v enačbo x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 daje končni rezultat enak 0. Tako

    Korak 1. je eden od odgovorov na našo kubično enačbo.