Kako poenostaviti zapletene ulomke: 9 korakov (s slikami)

2024 Avtor: Jason Gerald | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-15 08:23

Kompleksni ulomek je ulomek, v katerem števec, imenovalec ali oboje vsebujejo tudi ulomek. Zaradi tega se kompleksni ulomki včasih imenujejo "zloženi ulomki". Poenostavitev zapletenih ulomkov je lahko enostavna ali težka, odvisno od tega, koliko števil je v števcu in imenovalcu, ali je eno od številk spremenljivka ali kompleksnosti števila spremenljivke. Za začetek glejte 1. korak spodaj!

Korak

Metoda 1 od 2: Poenostavitev kompleksnih ulomkov z obratno množenjem

Korak 1. Poenostavite števec in imenovalec na en sam ulomek, če je potrebno

Kompleksnih ulomkov ni vedno težko rešiti. Pravzaprav je zapletene ulomke, katerih števec in imenovalec vsebujejo en sam ulomek, običajno precej enostavno rešiti. Če torej števec ali imenovalec (ali oboje) kompleksnega ulomka vsebuje več ulomkov ali ulomkov in celo število, ga poenostavite, da dobite en sam ulom v števcu in imenovalcu. Poiščite najmanjši skupni večkratnik (LCM) dveh ali več ulomkov.

• Recimo, da želimo poenostaviti zapleten ulomek (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Najprej bomo poenostavili števec in imenovalec kompleksnega ulomka v en sam ulomek.

  • Za poenostavitev števca uporabite LCM 15, dobljen z množenjem 3/5 s in 3/3. Števec bo 9/15 + 2/15, kar je enako 11/15.
  • Za poenostavitev imenovalca bomo uporabili rezultat LCM 70, ki dobimo z množenjem 5/7 z 10/10 in 3/10 s 7/7. Imenovalec bo 50/70 - 21/70, kar je enako 29/70.
  • Tako je nova kompleksna frakcija (11/15)/(29/70).

Korak 2. Obrnite imenovalec, da najdete njegovo vzajemnost

Po definiciji je deljenje ene številke z drugo isto kot množenje prve številke z vzajemnostjo drugega števila. Zdaj, ko imamo v števcu in imenovalcu kompleksen ulomek z enim ulomkom, bomo to delitev uporabili za poenostavitev kompleksnega ulomka. Najprej poiščite recipročno vrednost ulomka na dnu kompleksnega ulomka. To naredite tako, da "obrnete" ulomek - tako, da števec postavite namesto imenovalca in obratno.

• V našem primeru je ulomek v imenovalec kompleksnega ulomka (11/15)/(29/70) 29/70. Če želimo najti obratno, jo "obrnemo" tako, da dobimo 70/29.

  Upoštevajte, da če ima kompleksen ulomek v imenovalcu celo število, ga lahko obravnavamo kot ulomka in poiščemo njegovo vzajemnost. Na primer, če je kompleksen ulomek (11/15)/(29), lahko določimo imenovalec 29/1, kar pomeni, da je vzajemni 1/29.

Korak 3. Pomnožite števec kompleksnega ulomka z recipročno vrednost imenovalca

Zdaj, ko imamo vzajemnost imenovalca kompleksnega ulomka, ga pomnožimo s števnikom, da dobimo en sam preprost ulomek. Ne pozabite, da za pomnoževanje dveh ulomkov križamo samo množenje - števec novega ulomka je številka števca dveh starih ulomkov in imenovalec.

V našem primeru bomo pomnožili 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 in 15 × 29 = 435. Novi preprost ulomek je torej 770/435.

Korak 4. Poenostavite nov ulomek tako, da poiščete največji skupni faktor

En preprost ulomek že imamo, zato moramo le najti najpreprostejšo številko. Poiščite največji skupni faktor (GCF) števca in imenovalca ter ga za poenostavitev delite s tem številom.

Eden od skupnih dejavnikov 770 in 435 je 5. Torej, če števec in imenovalec ulomka razdelimo na 5, dobimo 154/87. 154 in 87 nimata skupnih dejavnikov, zato je to končni odgovor!

Metoda 2 od 2: Poenostavitev kompleksnih ulomkov, ki vsebujejo spremenljive številke

Korak 1. Če je mogoče, uporabite zgornjo metodo obratnega množenja

Če želimo biti jasni, lahko skoraj vse kompleksne ulomke poenostavimo tako, da števec in imenovalec odštejemo za en sam ulomek in števec pomnožimo z recipročno vrednostjo imenovalca. Vključeni so tudi zapleteni ulomki, ki vsebujejo spremenljivke, čeprav je bolj zapleten izraz spremenljivk v kompleksnih ulomkih, težje in dolgotrajnejše bo obratno množenje. Za "lahke" kompleksne ulomke, ki vsebujejo spremenljivke, je obratno množenje dobra izbira, vendar je lahko kompleksne ulomke z več številkami spremenljivk v števcu in imenovalcu lažje poenostaviti na alternativni način, opisan spodaj.

• Na primer, (1/x)/(x/6) je enostavno poenostaviti z obratno množenje. 1/x × 6/x = 6/x². Tu ni potrebe po uporabi alternativnih metod.
• Vendar je (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) težje poenostaviti z obratno množenje. Zmanjšanje števca in imenovalca kompleksnih ulomkov na posamezne ulomke, obratno množenje in zmanjšanje rezultata na najpreprostejša števila je lahko zapleten proces. V tem primeru je lahko spodnja alternativna metoda lažja.

Korak 2. Če obratno množenje ni praktično, začnite z iskanjem LCM delnega števila v kompleksnem ulomku

Prvi korak je najti LCM vseh delnih števil v kompleksnem ulomku - tako v števcu kot v imenovalcu. Običajno, če ima eno ali več ulomljenih števil v imenovalcu številko, je LCM število v imenovalcu.

To je lažje razumeti s primerom. Poskusimo poenostaviti zgoraj omenjene kompleksne ulomke, ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Delna števila v tem kompleksnem ulomku so (1)/(x+3) in (1)/(x-5). LCM dveh ulomkov je število v imenovalcu: (x+3) (x-5).

Korak 3. Pomnožite števec kompleksnega ulomka z novo ugotovljenim LCM

Nato moramo število v kompleksnem ulomku pomnožiti z LCM delnega števila. Z drugimi besedami, vse kompleksne ulomke bomo pomnožili s (KPK)/(KPK). To lahko naredimo neodvisno, ker je (KPK)/(KPK) enako 1. Najprej pomnožimo števce.

• V našem primeru bomo pomnožili kompleksni ulomek, ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))), tj (((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5)). Množiti moramo skozi števec in imenovalec kompleksnega ulomka, vsako število pomnožimo z (x + 3) (x-5).

  • Najprej pomnožimo števce: (((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)

    • = (((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = x³ - 12x² +6x +145

Korak 4. Pomnožite imenovalec kompleksnega ulomka z LCM, kot bi to naredili s števcem

Kompleksni ulomek nadaljujte z množenjem LCM, ki ga najdete, tako da nadaljujete na imenovalec. Pomnožite vse, vsako število pomnožite z LCM.

• Imenitelj našega kompleksnega ulomka, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), je x +4 +((1) // (x-5)). Pomnožili ga bomo z najdeno LCM, (x+3) (x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
  • = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5).
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 22x - 57

Korak 5. Ustvarite nov in poenostavljen ulomek iz na novo najdenega števca in imenovalca

Ko pomnožite ulomek s (KPK)/(KPK) in ga poenostavite s kombiniranjem številk, je rezultat preprost ulomek, ki ne vsebuje ulomka. Upoštevajte, da bo z množenjem z LCM ulomnega števila v prvotnem kompleksnem ulomku imenovalec tega ulomka izčrpan, spremenljivo število in celo število pa bo ostalo v števcu in imenovalcu odgovora brez ulomkov.

Z zgornjim števcem in imenovalcem lahko sestavimo ulomek, ki je enak prvotnemu kompleksnemu ulomku, vendar ne vsebuje ulomka. Dobljeni števec je x³ - 12x² + 6x + 145 in imenovalec, ki smo ga dobili, je bil x³ + 2x² - 22x - 57, tako da postane nov ulomek (x³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

Nasveti

• Pokažite vsak korak dela. Zlomki so lahko zmedeni, če se koraki štejejo prehitro ali če jih poskušate narediti na pamet.
• Poiščite primere zapletenih ulomkov na internetu ali v knjigah. Sledite vsakemu koraku, dokler ga ne obvladate.