Kako poenostaviti matematične enačbe: 13 korakov

2024 Avtor: Jason Gerald | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-15 08:23

Učenci matematike so pogosto naprošeni, da svoje odgovore zapišejo v najpreprostejši obliki - z drugimi besedami, da odgovore zapišejo čim bolj elegantno. Čeprav so dolge, toge in kratke ter elegantne enačbe tehnično enake, se matematična težava pogosto ne šteje za dokončano, če se končni odgovor ne zmanjša na najpreprostejšo obliko. Prav tako je odgovor v najpreprostejši obliki skoraj vedno najlažja enačba za delo. Iz tega razloga je učenje poenostavitve enačb pomembna veščina za matematike.

Korak

Metoda 1 od 2: Uporaba zaporedja operacij

Korak 1. Spoznajte vrstni red operacij

Pri poenostavitvi matematičnih izrazov ne morete samo delati od leve proti desni, množiti, seštevati, odštevati itd. Po vrstnem redu od leve proti desni. Nekatere matematične operacije morajo imeti prednost pred drugimi in jih je treba najprej opraviti. Pravzaprav lahko z uporabo napačnega vrstnega reda dejanj dobite napačen odgovor. Vrstni red operacij je: del v oklepajih, eksponent, množenje, deljenje, seštevanje in na koncu odštevanje. Kratica, ki si jo lahko zapomnite, je, ker mati ni dobra, zla in revna.

Upoštevajte, da čeprav osnovno znanje o vrstnem redu operacij lahko poenostavi najosnovnejše enačbe, so za poenostavitev številnih spremenljivčnih enačb, vključno s skoraj vsemi polinomi, potrebne posebne tehnike. Za več informacij glejte naslednjo drugo metodo

Korak 2. Začnite z izpolnjevanjem vseh razdelkov v oklepajih

V matematiki oklepaji označujejo, da je treba notranji del izračunati ločeno od izraza, ki je zunaj oklepajev. Ne glede na to, katere operacije so v oklepajih, ne pozabite najprej dokončati dela v oklepajih, ko poskušate poenostaviti enačbo. V oklepajih morate na primer pomnožiti, preden dodate, odštejete itd.

• Poskusimo na primer poenostaviti enačbo 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). V tej enačbi moramo najprej rešiti del znotraj oklepajev, in sicer 5 + 2 in 3 + 4/2. 5 + 2 =

  7. korak.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  5. korak

  Del v drugem oklepaju je poenostavljen na 5, ker glede na vrstni red operacij delimo 4/2 najprej v oklepajih. Če delamo samo od leve proti desni, najprej seštejemo 3 in 4, nato delimo z 2, pri čemer dobimo napačen odgovor 7/2

• Opomba - če je v oklepajih več oklepajev, izpolnite odsek v notranjem oklepaju, nato drugi notranji oklepaj itd.

Korak 3. Rešite eksponent

Ko izpolnite oklepaje, nato rešite eksponent svoje enačbe. To si je enostavno zapomniti, saj sta pri eksponentih osnovna številka in moč napajanja drug poleg drugega. Poiščite odgovor na vsak del eksponenta, nato pa odgovor vključite v enačbo, da zamenjate del eksponenta.

Po zaključku dela v oklepaju naša primer enačba postane 2x + 4 (7) + 3² - 5. Edini eksponent v našem primeru je 3², kar je enako 9. Dodajte ta rezultat v svojo enačbo, da nadomestite 3² kar ima za posledico 2x + 4 (7) + 9 - 5.

Korak 4. Rešite problem množenja v svoji enačbi

Nato naredite vse, kar potrebujete v enačbi. Ne pozabite, da je množenje mogoče zapisati na več načinov. Simbol × pika ali zvezdica je način prikaza množenja. Vendar pa številka poleg oklepajev ali spremenljivka (na primer 4 (x)) predstavlja tudi množenje.

• V našem problemu sta dva dela za množenje: 2x (2x je 2 × x) in 4 (7). Ne poznamo vrednosti x, zato jo pustimo pri 2x. 4 (7) = 4 × 7 =

  28. korak.. Našo enačbo lahko prepišemo na 2x + 28 + 9 - 5.

Korak 5. Nadaljujte z delitvijo

Ko iščete težave z delitvijo v svojih enačbah, ne pozabite, da je delitev, tako kot množenje, mogoče zapisati na več načinov. Eden od teh je simbol, vendar ne pozabite, da poševnice in pomišljaji, na primer v ulomkih (npr. 3/4), označujejo tudi delitev.

Ker smo delitev (4/2) že opravili, ko smo dele v oklepaju zaključili. Naš primer še nima težav z delitvijo, zato bomo ta korak preskočili. To kaže na pomembno stvar - pri poenostavitvi izraza vam ni treba izvesti vseh operacij, samo operacije, ki jih vsebuje vaša težava

Korak 6. Nato dodajte vse, kar je v vaši enačbi

Lahko delate od leve proti desni, vendar je lažje najprej sešteti številke, ki jih je enostavno dodati. Na primer, v nalogi 49 + 29 + 51 + 71 je lažje dodati 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 in 100 + 100 = 200, kot pa 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 in 129 + 71 = 200.

Naša enačba je bila delno poenostavljena na 2x + 28 + 9 - 5. Zdaj moramo sešteti številke, ki jih lahko seštejemo - poglejmo vsako težavo seštevanja od leve proti desni. Ne moremo dodati 2x in 28, ker ne poznamo vrednosti x, zato ga bomo kar preskočili. 28 + 9 = 37, se lahko prepiše kot 2x + 37 - 5.

Korak 7. Zadnji korak zaporedja operacij je odštevanje

Nadaljujte z reševanjem preostalih težav odštevanja. Morda boste v tem koraku lahko odštevanje zamislili kot dodajanje negativnih števil ali pa uporabili iste korake kot pri običajnem problemu seštevanja - vaša izbira ne bo vplivala na vaš odgovor.

• V našem problemu 2x + 37 - 5 obstaja samo en problem odštevanja. 37 - 5 =

  Korak 32.

Korak 8. Preverite svojo enačbo

Po reševanju z uporabo vrstnega reda operacij je treba vašo enačbo poenostaviti v njeno najpreprostejšo obliko. Če pa vaša enačba vsebuje eno ali več spremenljivk, se zavedajte, da na vaših spremenljivkah ni treba delati. Če želite poenostaviti spremenljivko, morate najti vrednost spremenljivke ali uporabiti posebne tehnike za poenostavitev izraza (glejte spodnji korak).

Naš končni odgovor je 2x + 32. Tega končnega seštevanja ne moremo rešiti, če ne poznamo vrednosti x, če pa bi poznali njegovo vrednost, bi bilo to enačbo veliko lažje rešiti kot našo prvotno enačbo

Metoda 2 od 2: Poenostavitev kompleksnih enačb

Korak 1. Seštejte dele, ki imajo isto spremenljivko

Pri reševanju enačb spremenljivk ne pozabite, da je mogoče dele, ki imajo isto spremenljivko in eksponent (ali isto spremenljivko), dodati in odšteti kot običajna števila. Ta del mora imeti isto spremenljivko in eksponent. Na primer, lahko dodate 7x in 5x, vendar 7x in 5x² ni mogoče sešteti.

• To pravilo velja tudi za nekatere spremenljivke. Na primer 2xy² se lahko sešteje z -3xy², vendar ga ni mogoče sešteti s -3x²y ali -3y².
• Glej enačbo x² + 3x + 6 - 8x. V tej enačbi lahko dodamo 3x in -8x, ker imata isto spremenljivko in eksponent. Enostavna enačba postane x² - 5x + 6.

Korak 2. Poenostavite ulomke z delitvijo ali prečrtanjem faktorjev

Ulomke, ki imajo v števcu in imenovalcu samo številke (in brez spremenljivk), lahko poenostavimo na več načinov. Prvi in morda najlažji je, da o ulomku razmišljamo kot o problemu deljenja in imenovalec delimo s števcem. Prav tako je mogoče prečrtati kateri koli faktor množenja, ki se pojavi v števcu in imenovalcu, ker deljenje obeh faktorjev povzroči številko 1.

Na primer, poglejte ulomek 36/60. Če imamo kalkulator, ga lahko razdelimo, da dobimo odgovor 0, 6. Če pa nimamo kalkulatorja, ga lahko še poenostavimo tako, da prečrtamo iste dejavnike. Drug način predstavljanja 36/60 je (6 × 6)/(6 × 10). Ta ulomek lahko zapišemo kot 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, torej je naš ulomek dejansko 1 × 6/10 = 6/10. Vendar še nismo končali - imata 6 in 10 enak faktor, kar je 2. Če ponovimo zgornjo metodo, rezultat postane 3/5.

Korak 3. Na spremenljivem ulomku prečrtajte vse dejavnike spremenljivke

Spremenljive enačbe v obliki ulomkov imajo edinstven način poenostavitve. Tako kot navadni ulomki vam tudi spremenljivi ulomki omogočajo, da odpravite dejavnike, ki so jim tako števec kot imenovalec skupni. V spremenljivih delih pa so ti dejavniki lahko številke in enačbe dejanske spremenljivke.

• Recimo enačba (3x² + 3x)/(-3x² + 15x). Ta ulomek lahko zapišemo kot (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x se pojavi tako v števcu kot v imenovalcu. Če te faktorje prečrtamo iz enačbe, postane rezultat (x + 1)/(5 - x). Enako kot v izrazu (2x² + 4x + 6)/2, ker je vsak del deljiv z 2, lahko enačbo zapišemo kot (2 (x² + 2x + 3))/2 in nato poenostavite na x² + 2x + 3.
• Upoštevajte, da ne morete prečrtati vseh razdelkov - prečrtate lahko le faktorje množenja, ki so prikazani v števcu in imenovalcu. Na primer, v izrazu (x (x + 2))/x lahko x prečrtamo tako števec kot imenovalec, tako da postane (x + 2)/1 = (x + 2). Vendar (x + 2)/x ni mogoče prečrtati na 2/1 = 2.

Korak 4. Del v oklepajih pomnožite s konstanto

Ko pomnožite del, ki ima spremenljivko v oklepaju s konstanto, lahko včasih pomnožite vsak del v oklepajih s konstanto, kar povzroči enostavnejšo enačbo. To velja za konstante, ki so sestavljene samo iz števil in konstant, ki imajo spremenljivke.

• Na primer enačba 3 (x² + 8) lahko poenostavite na 3x² + 24, medtem ko 3x (x² + 8) lahko poenostavite na 3x³ + 24x.
• Upoštevajte, da je v nekaterih primerih, na primer spremenljivih ulomkih, mogoče konstante okoli oklepajev prečrtati, zato jih ni treba pomnožiti z delom v oklepajih. V ulomkih (3 (x² + 8))/3x, na primer faktor 3 se pojavi tako v števcu kot v imenovalcu, zato ga lahko prečrtamo in izraz poenostavimo na (x² + 8)/x. Ta izraz je enostavnejši in z njim je lažje delati kot (3x³ + 24x)/3x, kar bomo dobili, če ga pomnožimo.

Korak 5. Poenostavite s faktoringom

Faktoring je tehnika, s katero lahko poenostavimo nekatere spremenljive izraze, vključno s polinomi. Pomislite na faktoring kot na nasprotje množenja z delom v oklepajih v zgornjem koraku - včasih si lahko izraz predstavljamo kot dva dela, ki se množita med seboj, in ne kot enoten izraz. To še posebej velja, če faktoring enačbe omogoča, da prečrtate enega od njegovih delov (kot v ulomkih). V nekaterih primerih (pogosto s kvadratnimi enačbami) vam lahko faktoring celo omogoči iskanje rešitve enačbe.

• Predpostavimo spet izraz x² - 5x + 6. Ta izraz lahko prištejemo k (x - 3) (x - 2). Torej, če x² - 5x + 6 je števec dane enačbe, kjer ima imenovalec enega od teh dejavnikov, kot je v izrazu (x² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), ga bomo morda želeli zapisati v obliki faktorja, da bomo faktor lahko prečrtali z imenovanikom. Z drugimi besedami, v (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) lahko del (x - 2) prečrtamo na (x - 3)/2.

• Kot je navedeno zgoraj, je še en razlog, zakaj bi radi enačili svoje enačbe, to, da vam lahko faktoring odgovori na nekatere enačbe, še posebej, če so zapisane kot enake 0. Na primer, enačba x² - 5x + 6 = 0. Faktoring daje (x - 3) (x - 2) = 0. Ker je vsako število, pomnoženo z nič, enako nič, vemo, da če je kateri koli del oklepajev enak nič, je vsa enačba levo od znak enako je tudi nič. Torej to

  3. korak. da

  2. korak. sta dva odgovora na enačbo.