Racionalna enačba je ulomek z eno ali več spremenljivkami v števcu ali imenovalcu. Racionalna enačba je vsak ulomek, ki vključuje vsaj eno racionalno enačbo. Tako kot navadne algebarske enačbe se tudi racionalne enačbe rešijo z isto operacijo na obeh straneh enačbe, dokler se spremenljivk ne prenese na obe strani enačbe. Dve posebni tehniki, navzkrižno množenje in iskanje najmanjšega skupnega imenovalca, sta zelo uporabna načina za premikanje spremenljivk in reševanje racionalnih enačb.
Korak
Metoda 1 od 2: navzkrižno množenje
Korak 1. Po potrebi preuredite svojo enačbo, da dobite ulomek na eni strani enačbe
Križno množenje je hiter in enostaven način za reševanje racionalnih enačb. Na žalost se ta metoda lahko uporablja le za racionalne enačbe, ki vsebujejo vsaj eno racionalno enačbo ali ulomek na vsaki strani enačbe. Če vaša enačba ne izpolnjuje teh zahtev za navzkrižne izdelke, boste morda morali z algebrskimi operacijami premakniti dele na prava mesta.
-
Na primer, enačbo (x + 3)/4-x/(-2) = 0 je mogoče zlahka postaviti v navzkrižno produkt tako, da na obeh straneh enačbe dodamo x/(-2), tako da postane (x + 3)/4 = x/(-2).
Upoštevajte, da lahko decimalna in cela števila pretvorite v ulomke tako, da podate imenovalec 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, na primer, lahko prepišemo kot (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, zaradi česar izpolnjuje pogoj navzkrižnega množenja
- Nekaterih racionalnih enačb ni mogoče zlahka reducirati v obliko, ki ima na vsaki strani en ulomek ali racionalno enačbo. V takih primerih uporabite isti pristop z najmanjšim imenovalcem.
Korak 2. Križajte pomnožite
Križno množenje pomeni pomnoževanje enega od števcev ulomka z imenovalcem drugega ulomka in obratno. Pomnožite števec ulomka na levi strani z imenovanikom ulomka na desni. Ponovite z desnim imenovalcem z levim.
Križno množenje deluje po osnovnih algebrskih načelih. Racionalne enačbe in druge ulomke lahko sestavite v nelomke tako, da jih pomnožite z imenovalcem. Navzkrižni produkt je v bistvu hiter način za pomnožitev obeh strani enačbe z obema imenovanikoma. Ne verjemi? Poskusite - po poenostavitvi boste dobili enak rezultat
Korak 3. Izravnajte dva izdelka med seboj
Po navzkrižnem množenju boste dobili dva rezultata množenja. Naj bodo enaki drug drugemu in poenostavijo, da bo enačba čim preprostejša.
Na primer, če je bila vaša prvotna racionalna enačba (x+3)/4 = x/(-2), potem po navzkrižnem množenju vaša nova enačba postane -2 (x+3) = 4x. Če želite, ga lahko zapišete tudi kot -2x - 6 = 4x
Korak 4. Poiščite vrednost svoje spremenljivke
Z algebarskimi operacijami poiščite vrednost spremenljivke vaše enačbe. Ne pozabite, da morate x, če se pojavi na obeh straneh enačbe, dodati ali odšteti x z obeh strani enačbe, da pustite x le na eni strani enačbe.
V našem primeru lahko obe strani enačbe razdelimo za -2, zato je x+3 = -2x. Če od obeh strani odštejemo x, dobimo 3 = -3x. Končno z delitvijo obeh strani na -3 rezultat postane -1 = x, kar lahko zapišemo kot x = -1. Ugotovili smo vrednost x in rešili svojo racionalno enačbo
Metoda 2 od 2: Iskanje najmanjšega skupnega imenovalca
Korak 1. Vedite točen čas, da uporabite isti najmanjši imenovalec
Isti najmanjši imenovalec se lahko uporabi za poenostavitev racionalnih enačb, zaradi česar je mogoče iskati spremenljive vrednosti. Najti najmanjši skupni imenovalec je dobra ideja, če vaše racionalne enačbe ni mogoče preprosto zapisati z enim ulomkom (in samo enim ulomkom) na vsaki strani enačbe. Za reševanje racionalnih enačb s tremi ali več deli je v pomoč najmanj skupni imenovalec. Vendar pa je za reševanje racionalne enačbe samo z dvema deloma hitreje uporabiti navzkrižni produkt.
Korak 2. Preverite imenovalec vsakega ulomka
Določite najmanjše število, ki ga lahko razdeli vsak imenovalec, in sestavite celo število. Ta številka je najmanjši skupni imenovalec za vašo enačbo.
- Včasih je najmanjši skupni imenovalec - torej najmanjše število, ki ima v imenovalniku vse dejavnike - jasno vidno. Na primer, če je vaša enačba x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, ni težko videti najmanjšega števila, ki ima faktor 3, 2 in 6, to je število 6.
- Vendar pa pogosto najmanjši skupni imenovalec racionalne enačbe ni jasno viden. V takem primeru poskusite preveriti večkratnike večjega imenovalca, dokler ne najdete števila, ki ima faktor vseh drugih manjših imenovalcev. Pogosto je najmanj skupni imenovalec produkt dveh imenovalcev. Na primer, v enačbi x/8 + 2/6 = (x-3)/9 je najmanjši skupni imenovalec 8*9 = 72.
- Če ima eden ali več imenovalcev vašega ulomka spremenljivke, je ta postopek težji, vendar izvedljiv. V takem primeru je najmanjši skupni imenovalec enačba (s spremenljivko), ki je deljiva z vsemi drugimi imenovalci. Na primer v enačbi 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) je najmanjši skupni imenovalec 3x (x-1), ker ga lahko razdeli kateri koli imenovalec-deljenje z (x-1) daje 3x, deljenje s 3x daje (x-1), deljenje s x pa 3 (x-1).
Korak 3. Pomnožite vsak ulomek v racionalni enačbi z 1
Množenje vsakega dela z 1 se zdi neuporabno. Ampak tukaj je zvijača. 1 lahko opredelimo kot katero koli število, ki je enako v števcu in imenovalcu, na primer -2/2 in 3/3, kar je pravilen način za zapis 1. Ta metoda izkorišča alternativno definicijo. Pomnožite vsak ulomek v svoji racionalni enačbi z 1 in zapišite številko 1, ki pri pomnožitvi z imenovalcem daje najmanjši skupni imenovalec.
- V našem osnovnem primeru bomo x/3 pomnožili z 2/2, da dobimo 2x/6, 1/2 pa s 3/3, da dobimo 3/6. 2x + 1/6 že ima isti najmanjši imenovalec, ki je 6, zato ga lahko pomnožimo z 1/1 ali pustimo pri miru.
- V našem primeru s spremenljivko v imenovalcu ulomka je postopek nekoliko bolj zapleten. Ker je naš najmanjši imenovalec 3x (x-1), vsako racionalno enačbo pomnožimo z nečim, kar vrne 3x (x-1). Pomnožili bomo 5/(x-1) s (3x)/(3x), kar daje 5 (3x)/(3x) (x-1), pomnožili 1/x s 3 (x-1)/3 (x- 1), ki daje 3 (x-1)/3x (x-1), in pomnoževanje 2/(3x) z (x-1)/(x-1) daje 2 (x-1)/3x (x- 1).
Korak 4. Poenostavite in poiščite vrednost x
Ker ima vsak del vaše racionalne enačbe isti imenovalec, lahko iz iste enačbe odstranite imenovalec in rešite števec. Pomnožite obe strani enačbe, da dobite vrednost števca. Nato z algebarskimi operacijami poiščite vrednost x (ali katero koli spremenljivko, ki jo želite rešiti) na eni strani enačbe.
- V našem osnovnem primeru po množenju vseh delov z alternativno obliko 1 dobimo 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6. Dva ulomka lahko dodamo, če imata isti imenovalec, zato lahko to enačbo poenostavimo na (2x+3)/6 = (3x+1)/6 brez spreminjanja vrednosti. Pomnožite obe strani s 6, da odstranite imenovalec, tako da je rezultat 2x+3 = 3x+1. Odštejte 1 z obeh strani, da dobite 2x+2 = 3x, in odštejte 2x z obeh strani, da dobite 2 = x, kar lahko zapišemo kot x = 2.
- V našem primeru s spremenljivko v imenovalniku naša enačba po pomnožitvi z 1 postane 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). Če vse dele pomnožimo z istim najmanjšim imenovalcem, kar nam omogoča, da imenovalec izpustimo, postane 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). To velja tudi za 5x = 3x -3 + 2x -2, kar poenostavi na 15x = x -5. Če odštejemo x z obeh strani, dobimo 14x = -5, kar na koncu poenostavi na x = -5/14.
Nasveti
- Ko spremenite spremenljivko, preverite odgovor tako, da vrednost spremenljivke vključite v prvotno enačbo. Če je vaša spremenljivka pravilna, lahko izvirno enačbo poenostavite v preprosto izjavo, ki je vedno enaka 1 = 1.
- Upoštevajte, da lahko poljuben polinom napišete kot racionalno enačbo; postavite nad imenovalec 1. Torej imata x+3 in (x+3)/1 enako vrednost, drugo enačbo pa lahko razvrstimo kot racionalno enačbo, ker je zapisana kot ulomek.
