Kako narisati kvadratni graf: 10 korakov (s slikami)

2024 Avtor: Jason Gerald | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-02-01 14:15

Kadar je kvadratna enačba grafično predstavljena, ima obliko sekira² + bx + c ali a (x - h)² + k tvorijo črko U ali obrnjeno krivuljo U, imenovano parabola. Grafiranje kvadratne enačbe išče točko, smer in pogosto presečišče x in y. V primerih dokaj preprostih kvadratnih enačb lahko zadostuje vnos niza vrednosti x in izris krivulje na podlagi nastalih točk. Za začetek glejte 1. korak.

Korak

Korak 1. Določite obliko kvadratne enačbe, ki jo imate

Kvadratne enačbe je mogoče zapisati v treh različnih oblikah: splošni obliki, obliki vrha in kvadratni obliki. Za oblikovanje kvadratne enačbe lahko uporabite katero koli obliko; postopek prikaza vsakega grafa je nekoliko drugačen. Če opravljate domačo nalogo, boste običajno prejemali vprašanja v eni od teh dveh oblik - z drugimi besedami, ne boste mogli izbrati, zato je najbolje razumeti oboje. Dve obliki kvadratne enačbe sta:

• Splošna oblika.

  V tej obliki je kvadratna enačba zapisana kot: f (x) = ax² + bx + c, kjer so a, b in c realna števila in a ni nič.

  Na primer, dve kvadratni enačbi splošne oblike sta f (x) = x² + 2x + 1 in f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vršna oblika.

  V tej obliki je kvadratna enačba zapisana kot: f (x) = a (x - h)² + k, kjer so a, h in k realna števila in a ni nič. Imenuje se oblika vrha, ker bosta h in k takoj dali točko (sredino) vaše parabole na točki (h, k).

  Dve enačbi oblike točk sta f (x) = 9 (x - 4)² + 18 in -3 (x - 5)² + 1

• Za grafiranje katere koli vrste enačb moramo najprej najti točko parabole, ki je sredina (h, k) na koncu krivulje. Koordinate vrhov v splošni obliki se izračunajo kot: h = -b/2a in k = f (h), medtem ko sta v obliki vrha h in k v enačbi.

Korak 2. Določite spremenljivke

Za rešitev kvadratnega problema je običajno treba določiti spremenljivke a, b in c (ali a, h in k). Navaden problem algebre bo dal kvadratno enačbo z razpoložljivimi spremenljivkami, običajno v splošni obliki, včasih pa v obliki vrha.

• Na primer za enačbo splošne oblike f (x) = 2x² + 16x + 39, imamo a = 2, b = 16 in c = 39.
• Za enačbo oblike vrha f (x) = 4 (x - 5)² + 12, imamo a = 4, h = 5 in k = 12.

Korak 3. Izračunajte h

V enačbi oblike vrha je vaša vrednost h že podana, v enačbi splošne oblike pa je treba vrednost h izračunati. Ne pozabite, da je za enačbe splošne oblike h = -b/2a.

• V našem splošnem primeru (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Po reševanju ugotovimo, da je h = - 4.
• V našem primeru vertex oblike (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vemo, da je h = 5 brez matematike.

Korak 4. Izračunajte k

Tako kot h je k že znano v enačbi oblike vrha. Za enačbe splošne oblike ne pozabite, da je k = f (h). Z drugimi besedami, k lahko najdete tako, da vse vrednosti x v enačbi zamenjate s vrednostmi h, ki ste jih pravkar našli.

• V našem splošnem primeru smo že določili, da je h = -4. Če želimo najti k, rešimo našo enačbo tako, da namesto x vstavimo vrednost h:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    7. korak.

• V našem primeru največje oblike spet poznamo vrednost k (kar je 12), ne da bi morali pri tem izračunati.

Korak 5. Narišite svoj vrh

Vrh vaše parabole je točka (h, k)-h predstavlja koordinato x, medtem ko k predstavlja koordinato y. Točka je središče vaše parabole - bodisi na dnu U ali na vrhu obrnjenega U. Poznavanje vrhov je pomemben del risanja natančne parabole - pogosto je pri šolskem delu določanje oglišča del, ki ga je treba iskati pri vprašanju.

• V našem splošnem primeru je naš vrh (-4, 7). Tako bo naša parabola dosegla vrhunec 4 korakov levo od 0 in 7 korakov zgoraj (0, 0). To točko moramo prikazati v našem grafikonu, pri čemer pazimo, da označimo koordinate.
• V našem primeru z vertexom je naše oglišče (5, 12). Točko moramo narisati 5 korakov v desno in 12 korakov zgoraj (0, 0).

Korak 6. Narišite os parabole (neobvezno)

Os simetrije parabole je črta, ki poteka skozi njeno središče in jo deli točno na sredini. Na tej osi bo leva stran parabole odražala desno stran. Za kvadratne enačbe v obliki ax² + bx + c ali a (x - h)² + k, os simetrije je črta, ki je vzporedna z osjo (z drugimi besedami, popolnoma navpična) in poteka skozi točko.

V primeru našega splošnega primera je os črta, vzporedna z osjo y, ki poteka skozi točko (-4, 7). Čeprav ni del parabole, vam bo tanko označevanje te črte na grafikonu sčasoma pomagalo videti simetrično obliko krivulje parabole

Korak 7. Poiščite smer odprtine parabole

Ko poznamo vrh in os parabole, moramo vedeti, ali se parabola odpre navzgor ali navzdol. Na srečo je to enostavno. Če je vrednost a pozitivna, se bo parabola odprla navzgor, medtem ko je vrednost a negativna, se bo parabola odprla navzdol (tj. Parabola bo obrnjena).

• Za naš primer splošne oblike (f (x) = 2x² + 16x + 39), vemo, da imamo parabolo, ki se odpre, ker je v naši enačbi a = 2 (pozitivno).
• Za naš primer oblike točke (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vemo, da imamo tudi parabolo, ki se odpre, ker je a = 4 (pozitivno).

Korak 8. Po potrebi poiščite in narišite prestrezanje x

Pri šolskem delu boste pogosto morali najti prestrezanje x v paraboli (to je ena ali dve točki, kjer se parabola sreča z osjo x). Tudi če je ne najdete, sta ti dve točki zelo pomembni za risanje natančne parabole. Vendar pa vse parabole nimajo prestrezanja x. Če ima vaša parabola točko, ki se odpre in je njegovo oglišče nad osjo x ali če se odpre navzdol in je njegovo oglišče pod osjo x, parabola ne bo imela prestrezanja x. V nasprotnem primeru prestrezanje x rešite na enega od naslednjih načinov:

• Samo naredimo f (x) = 0 in rešimo enačbo. Ta metoda se lahko uporablja za preproste kvadratne enačbe, zlasti v obliki vrha, vendar bo za kompleksne enačbe zelo težka. Za primer glejte spodaj

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Koren (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 in 13 je prestrezanje x v paraboli.

• Faktorizirajte svojo enačbo. Nekaj enačb v obliki ax² + bx + c je mogoče enostavno vključiti v obliko (dx + e) (fx + g), kjer je dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx in e × g = c. V tem primeru so vaši prestrezi x vrednosti x, zaradi katerih bo kateri koli izraz v oklepaju = 0. Na primer:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • V tem primeru je edino prestrezanje x -1, ker bo x enak -1, zato bo kateri koli faktorski faktor v oklepaju enak 0.

• Uporabite kvadratno formulo. Če ne morete zlahka rešiti prestrezanja x ali faktorja vaše enačbe, uporabite posebno enačbo, imenovano kvadratna formula, ki je bila ustvarjena v ta namen. Če še ni rešeno, pretvorite svojo enačbo v obliko ax² + bx + c, nato vnesite a, b in c v formulo x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Upoštevajte, da vam ta metoda pogosto daje dva odgovora za vrednost x, kar je v redu-to samo pomeni, da ima vaša parabola dva prestreza x. Za primer glejte spodaj:

  • -5x² + 1x + 10 se vnese v kvadratno formulo takole:
  • x = (-1 +/- koren (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Koren (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- koren (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) in (-15, 18/-10). Prestrezanje x v paraboli je x = - 1, 318 in 1, 518
  • Naš prejšnji primer splošne oblike, 2x² +16x+39 se vnese v kvadratno formulo na naslednji način:
  • x = (-16 +/- Koren (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Koren (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Koren (-56)/-10
  • Ker ni mogoče najti kvadratnega korena negativnega števila, vemo, da je ta parabola nima prestrezanja x.

Korak 9. Po potrebi poiščite in narišite y-prestrezanje

Čeprav pogosto ni potrebno iskati prestreza y v enačbah (točka, kjer parabola prehaja skozi os y), jo boste morda morali najti, še posebej, če ste v šoli. Postopek je dokaj preprost-naredite x = 0 in nato rešite svojo enačbo za f (x) ali y, ki poda vrednost y, kjer vaša parabola prehaja skozi os y. Za razliko od prestrezanja x ima lahko navadna parabola le en prestreg y. Opomba-za enačbe splošne oblike je presek y pri y = c.

• Na primer, vemo, da je naša kvadratna enačba 2x² + 16x + 39 ima y-prestrezanje pri y = 39, lahko pa ga najdemo tudi na naslednji način:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Y-prestrezanje parabole je pri y = 39.

    Kot je navedeno zgoraj, je y-prestrezanje pri y = c.

• Oblika naše enačbe točke je 4 (x - 5)² + 12 ima y-prestrezanje, ki ga lahko najdete na naslednji način:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Y-prestrezanje parabole je pri y = 112.

Korak 10. Po potrebi narišite dodatne točke in nato narišite graf

Zdaj imate v svoji enačbi točko, smer, prestrezanje x in po možnosti y-prestrezanje. Na tej stopnji lahko poskusite narisati svojo parabolo z uporabo točk, ki jih imate kot vodilo, ali pa poiščite druge točke, ki bodo zapolnile vašo parabolo, da bo krivulja, ki jo narišete, natančnejša. Najlažji način za to je, da preprosto vnesete nekaj vrednosti x na katero koli stran vašega oglišča, nato pa te točke narišete s pomočjo dobljenih vrednosti y. Pogosto vas učitelji prosijo, da poiščete več točk, preden narišete svojo parabolo.

• Poglejmo enačbo x² + 2x + 1. Že vemo, da je prestrezanje x le pri x = -1. Ker se krivulja na eni točki dotakne le prestreza x, lahko sklepamo, da je oglišče njegovo prestrezanje x, kar pomeni, da je oglišče (-1, 0). Za to parabolo imamo dejansko samo eno točko - premalo, da bi narisali dobro parabolo. Poiščimo nekaj drugih točk, da se prepričamo, da narišemo temeljit graf.

  • Poiščimo vrednosti y za naslednje vrednosti x: 0, 1, -2 in -3.
  • Za 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Naša točka je (0, 1).

  • Za 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Naša točka je (1, 4).

  • Za -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Naša točka je (-2, 1).

  • Za -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Naša točka je (-3, 4).

  • Narišite te točke na grafu in narišite krivuljo v obliki črke U. Upoštevajte, da je parabola popolnoma simetrična - če so vaše točke na eni strani parabole cela števila, lahko običajno zmanjšate delo tako, da preprosto odsevate dano točko na osi simetrije parabole, da najdete isto točko na drugi strani parabole.

Nasveti

• Zaokrožite številke ali uporabite ulomke po želji učitelja algebre. To vam bo pomagalo bolje prikazati kvadratno enačbo.
• Upoštevajte, da je v f (x) = ax² + bx + c, če je b ali c enako nič, bodo te številke izginile. Na primer 12x² + 0x + 6 postane 12x² + 6, ker je 0x 0.