Dopolnjevanje kvadratov je uporabna tehnika, s katero lahko kvadratne enačbe postavite v urejeno obliko, zaradi česar jih je enostavno videti ali celo rešiti. Kvadrate lahko dokončate, da sestavite bolj zapletene kvadratne formule ali celo rešite kvadratne enačbe. Če želite vedeti, kako to storiti, sledite tem korakom.
Korak
1. del od 2: Pretvarjanje navadnih enačb v kvadratne funkcije
Korak 1. Zapišite enačbo
Recimo, da želite rešiti naslednjo enačbo: 3x2 - 4x + 5.
Korak 2. Vzemite koeficiente kvadratnih spremenljivk iz prvih dveh delov
Če želite iz prvih dveh delov izvleči številko 3, vzemite številko 3 in jo postavite izven oklepajev ter vsak del razdelite s 3. 3x2 deljeno s 3 je x2 in 4x deljeno s 3 je 4/3x. Tako nova enačba postane: 3 (x2 - 4/3x) + 5. Število 5 ostane izven enačbe, ker ni deljeno s številom 3.
Korak 3. Drugi del razdelite na 2 in ga kvadratite
Drugi del ali enačba, znana kot b, je 4/3. Delite z dvema. 4/3 2 ali 4/3 x 1/2 je enako 2/3. Zdaj razvrstite ta odsek tako, da kvadrat in števec in imenovalec položite na kvadrat. (2/3)2 = 4/9. Zapišite.
Korak 4. Te dele seštejte in odštejte od enačbe
Ta dodatni del boste potrebovali, da boste enačbo vrnili v popoln kvadrat. Vendar jih morate odšteti od preostale enačbe, da jih seštejete. Čeprav se zdi, da se vračate k prvotni enačbi. Vaša enačba izgleda tako: 3 (x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
Korak 5. Iz oklepajev odstranite del, ki ste ga odšteli
Ker imate zunaj oklepajev koeficient 3, ne morete samo prikazati -4/9. Najprej ga morate pomnožiti s 3. -4/9 x 3 = -12/9 ali -4/3. Če imate v razdelku x. Koeficient 12, potem lahko ta korak preskočite.
Korak 6. Del v oklepajih spremenite v popoln kvadrat
Zdaj so 3 (x2 -4/3x +4/9) v oklepajih. Poskusili ste že dobiti 4/9, kar je pravzaprav še en način za dokončanje kvadrata. Tako ga lahko prepišete kot: 3 (x - 2/3)2. Vse, kar morate storiti, je, da drugo polovico razdelite in tretjo odpravite. Svoje delo lahko preverite tako, da ga pomnožite in prikažete prve tri dele enačbe.
-
3 (x - 2/3)2 =
Izpolnite kvadratni korak 6 Bullet1 - 3 (x - 2/3) (x -2/3) =
- 3 [(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3 (x2 - 4/3x + 4/9)
Korak 7. Združite konstante
Zdaj obstajata dve konstanti ali številki, ki nimata spremenljivk. Zdaj imate 3 (x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Vse, kar morate storiti, je, da seštejete -4/3 in 5, da dobite 11/3. Dodate jih tako, da izmenjujete imenovalce: -4/3 in 15/3, nato pa seštejete številke, tako da dobite 11 in pustite imenovalec 3.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
Dokončajte kvadratni korak 7Bullet1
Korak 8. Enačbo napišite v kvadratni obliki
Naredil si. Končna enačba je 3 (x - 2/3)2 +11/3. Koeficient 3 lahko odstranite tako, da delite obe strani enačbe, da dobite (x - 2/3)2 +11/9. Enačbo ste uspešno zapisali v kvadratno obliko, in sicer a (x - h)2 +k, kjer k predstavlja konstanto.
2. del 2: Reševanje kvadratnih enačb
Korak 1. Zapišite vprašanja
Recimo, da želite rešiti naslednjo enačbo: 3x2 + 4x + 5 = 6
Korak 2. Združite obstoječe konstante in jih postavite na levo stran enačbe
Konstanta je vsako število, ki nima spremenljivke. V tem problemu je konstanta 5 na levi in 6 na desni. Če se želite premakniti 6 v levo, morate obe strani enačbe odšteti za 6. Preostanek je 0 na desni strani (6-6) in -1 na levi strani (5-6). Enačba postane: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Korak 3. Iznesite koeficient kvadratne spremenljivke
V tem problemu je 3 koeficient x2. Če želite dobiti številko 3, vzemite številko 3 in vsak del razdelite na 3. Torej 3x2 3 = x2, 4x 3 = 4/3x in 1 3 = 1/3. Enačba postane: 3 (x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
Korak 4. Delite s konstanto, ki ste jo pravkar izvlekli
To pomeni, da lahko odstranite koeficient 3. Ker ste že razdelili vsak del s 3, lahko odstranite številko 3, ne da bi to vplivalo na enačbo. Vaša enačba postane x2 + 4/3x - 1/3 = 0
Korak 5. Drugi del razdelite na 2 in ga kvadratite
Nato vzemite drugi del, 4/3 ali del b, in ga razdelite na 2. 4/3 2 ali 4/3 x 1/2, kar je enako 4/6 ali 2/3. In 2/3 na kvadrat na 4/9. Ko ga kvadrirate, ga boste morali zapisati na levo in desno stran enačbe, ker dodajate nov del. Za uravnoteženje morate to napisati na obeh straneh. Enačba postane x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Korak 6. Premaknite začetno konstanto na desno stran enačbe in jo dodajte kvadratu svojega števila
Premaknite začetno konstanto, -1/3, v desno, tako da je 1/3. Dodajte kvadrat svoje številke, 4/9 ali 2/32. Poiščite skupni imenovalec za seštevanje 1/3 in 4/9 tako, da zgornji in spodnji del 1/3 pomnožite s 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Zdaj dodajte 3/9 in 4/9, da dobite 7/9 na desni strani enačbe. Enačba postane: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3, nato x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
Korak 7. Zapišite levo stran enačbe kot popoln kvadrat
Ker ste že uporabili formulo za iskanje manjkajočega dela, je bil trdi del preskočen. Vse, kar morate storiti, je, da v oklepajih vnesete x in polovico vrednosti drugega koeficienta in ga kvadratite, na primer: (x + 2/3)2. Upoštevajte, da bo faktoring popolnega kvadrata prinesel tri dele: x2 + 4/3 x + 4/9. Enačba postane: (x + 2/3)2 = 7/9.
Korak 8. Kvadratni koren obeh strani
Na levi strani enačbe je kvadratni koren (x + 2/3)2 je x + 2/3. Na desni strani enačbe dobite +/- (√7)/3. Kvadratni koren imenovalca 9 je 3, kvadratni koren 7 pa 7. Ne pozabite napisati +/-, ker je lahko kvadratni koren pozitiven ali negativen.
Korak 9. Premaknite spremenljivke
Če želite spremeniti spremenljivko x, premaknite konstanto 2/3 na desno stran enačbe. Zdaj imate dva možna odgovora za x: +/- (√7)/3 - 2/3. To sta vaša dva odgovora. Lahko pustite pri miru ali poiščete vrednost kvadratnega korena 7, če morate napisati odgovor brez kvadratnega korena.
Nasveti
- Ne pozabite napisati +/- na ustreznem mestu, sicer boste dobili le en odgovor.
- Tudi potem, ko poznate kvadratno formulo, vadite redno dokončanje kvadrata bodisi s dokazovanjem kvadratne formule bodisi z reševanjem nekaterih težav. Tako ne boste pozabili na metodo, ko jo potrebujete.
