Naučiti se poenostaviti algebrske izraze je eden od ključev za obvladovanje osnovne algebre in najbolj uporabno orodje, ki ga mora imeti vsak matematik. Poenostavitev matematikom omogoča pretvorbo kompleksnih, dolgih in/ali čudnih izrazov v enostavnejše ali lažje enakovredne izraze. Osnovnih poenostavitvenih veščin je zelo enostavno naučiti - tudi za tiste, ki sovražijo matematiko. Z nekaj preprostimi koraki je mogoče poenostaviti številne najpogosteje uporabljene vrste algebrskih izrazov, ne da bi pri tem uporabljali posebno znanje matematike. Za začetek si oglejte 1. korak!
Korak
Razumevanje pomembnih konceptov
Korak 1. Razvrstite podobne izraze glede na njihove spremenljivke in moči
V algebri imajo podobni izrazi enako spremenljivo konfiguracijo z enako močjo. Z drugimi besedami, da sta dva izraza enaka, morata imeti isto spremenljivko ali pa sploh nobene, vsaka spremenljivka pa ima enako moč ali ne eksponent. Vrstni red spremenljivk glede na to ni pomemben.
Na primer 3x2 in 4x2 sta podobna izraza, ker imata oba spremenljivko x z močjo kvadrata. Vendar sta x in x2 niso podobni izrazi, ker ima vsak izraz spremenljivko x z drugačno močjo. Skoraj enako, -3yx in 5xz nista podobna izraza, ker ima vsak izraz drugačno spremenljivko.
Korak 2. Faktor z zapisovanjem števila kot produkta dveh faktorjev
Faktoring je koncept zapisovanja danega števila kot produkta dveh faktorjev, ki jih množimo. Številke imajo lahko več kot en niz faktorjev - na primer 12 lahko dobimo iz 1 × 12, 2 × 6 in 3 × 4, zato lahko rečemo, da so 1, 2, 3, 4, 6 in 12 faktorji od 12 Drug način predstavljanja je, da so faktorji števila številke, ki delijo celoto.
- Če bi na primer želeli faktor 20, bi to lahko zapisali kot 4 × 5.
- Upoštevajte, da je mogoče upoštevati tudi spremenljive izraze. -20x je na primer mogoče zapisati kot 4 (5x).
- Praštevilk ni mogoče upoštevati, ker jih je mogoče razdeliti samo zase in 1.
Korak 3. Uporabite akronim KaPaK BoTaK, da si zapomnite vrstni red operacij
Včasih poenostavitev izraza preprosto reši operacijo v enačbi, dokler ni več izvedljiva. V teh primerih je zelo pomembno zapomniti vrstni red operacij, da ne pride do aritmetičnih napak. Kratica KaPaK BoTaK vam bo pomagala zapomniti vrstni red operacij - črke označujejo vrste operacij, ki jih morate izvesti, v vrstnem redu:
- Kneuspeh
- Pdvig
- Kali
- Bponovno
- Tdodaj
- Kkozice
Metoda 1 od 3: Združite podobne pogoje
Korak 1. Zapišite svojo enačbo
Najenostavnejše algebrske enačbe, ki vključujejo le nekaj spremenljivih izrazov s celovitimi koeficienti in brez ulomkov, korenin itd., Je pogosto mogoče rešiti v le nekaj korakih. Za večino matematičnih težav je prvi korak k poenostavitvi enačbe, da jo zapišete!
Kot primer problema za naslednjih nekaj korakov uporabimo izraz 1 + 2x - 3 + 4x.
Korak 2. Opredelite podobna plemena
Nato v enačbi poiščite podobne izraze. Ne pozabite, da imajo podobni izrazi isto spremenljivko in eksponent.
Na primer, identificirajmo podobne izraze v naši enačbi 1 + 2x - 3 + 4x. 2x in 4x imata isto spremenljivko z enako močjo (v tem primeru x nima eksponenta). Tudi 1 in -3 sta podobna izraza, ker nimata spremenljivk. Torej v naši enačbi, 2x in 4x in 1 in -3 so podobna plemena.
Korak 3. Združite podobne izraze
Zdaj, ko ste identificirali podobne izraze, jih lahko združite, da poenostavite svojo enačbo. Dodajte izraze (ali odštejte v primeru negativnih izrazov), da zmanjšate nabor izrazov z isto spremenljivko in eksponentom na en enak člen.
-
V našem primeru dodajmo podobne izraze.
- 2x + 4x = 6x
- 1 + -3 = - 2
Korak 4. Iz poenostavljenih izrazov ustvarite enostavnejšo enačbo
Ko združite podobne izraze, naredite enačbo iz novega, manjšega nabora izrazov. Dobili boste enostavnejšo enačbo, ki ima en izraz za različne sklope spremenljivk in moči v prvotni enačbi. Ta nova enačba je enakovredna prvotni enačbi.
V našem primeru so naši poenostavljeni izrazi 6x in -2, zato je naša nova enačba 6x - 2. Ta preprosta enačba je enakovredna izvirniku (1 + 2x - 3 + 4x), vendar je krajša in lažja za delo. Prav tako je lažje upoštevati faktorje, kar bomo pogledali spodaj, kar je še ena pomembna poenostavitvena spretnost.
Korak 5. Pri združevanju podobnih izrazov upoštevajte vrstni red operacij
V zelo preprostih enačbah, kot je tista, na kateri smo delali v zgornjem primeru problema, je prepoznavanje podobnih izrazov enostavno. Vendar v bolj zapletenih enačbah, kot so izrazi, ki vključujejo oklepajske izraze, ulomke in korenine, podobni izrazi, ki jih je mogoče združiti, morda niso jasno vidni. V teh primerih sledite vrstnemu redu operacij in po potrebi izvajajte operacije na izrazih v vašem izrazu, dokler ne ostaneta operacije seštevanja in odštevanja.
-
Na primer, uporabimo enačbo 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. Napačno bi bilo, če bi 3x in 2x takoj obravnavali kot podobna izraza in jih združili, ker oklepaji v izrazu kažejo, da moramo najprej opraviti druge operacije. Najprej izvedemo aritmetične operacije nad izrazom po vrstnem redu operacij, da dobimo izraze, ki jih lahko uporabimo. Glejte naslednje:
- 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Ker sta edini preostali operaciji seštevanje in odštevanje, lahko združimo podobne izraze.
- x2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
- x2 + 12x + 3
Metoda 2 od 3: Faktoring
Korak 1. Opredelite največji skupni dejavnik v izrazu
Faktoring je način za poenostavitev izraza z odstranitvijo faktorjev, ki so v vseh enakih izrazih v izrazu. Za začetek poiščite največji skupni faktor vseh izrazov - z drugimi besedami, največje število, ki deli vse izraze v izrazu celota.
- Uporabimo enačbo 9x2 + 27x - 3. Upoštevajte, da je vsak izraz v tej enačbi deljiv s 3. Ker izrazi niso deljivi z večjim številom, lahko rečemo, da
3. korak. je naš največji skupni dejavnik.
Korak 2. Razdelite izraze v izrazu z največjim skupnim faktorjem
Nato vsak izraz v enačbi razdelite na največji skupni faktor, ki ste ga pravkar našli. Količinski izrazi bodo imeli manjši koeficient kot prvotna enačba.
-
Enačimo svojo enačbo z njenim največjim skupnim faktorjem 3. Za to razdelimo vsak izraz na 3.
- 9x2/3 = 3x2
- 27x/3 = 9x
- -3/3 = -1
- Tako je naš novi izraz 3x2 + 9x - 1.
Korak 3. Zapišite svoj izraz kot produkt največjega skupnega faktorja, pomnoženega s preostalimi izrazi
Vaš novi izraz ni enakovreden vašemu prvotnemu izrazu, zato bi bilo napačno reči, da je bil izraz poenostavljen. Da bi bil naš novi izraz enak izvirniku, moramo vključiti dejstvo, da je bil naš izraz razdeljen z največjim skupnim faktorjem. Novi izraz izrazite v oklepajih in zapišite največji skupni faktor prvotne enačbe kot koeficient izraza v oklepaju.
Za našo primer enačbe 3x2 + 9x - 1, lahko izraz v oklepaju zapremo in pomnožimo z največjim skupnim faktorjem izvirne enačbe, da dobimo 3 (3x2 + 9x - 1). Ta enačba je enakovredna prvotni enačbi, 9x2 +27x - 3.
Korak 4. Uporabite faktoring za poenostavitev ulomkov
Morda se zdaj sprašujete, zakaj se uporablja faktoring, če je treba novi izraz tudi po odstranitvi največjega skupnega faktorja znova pomnožiti s tem faktorjem. Pravzaprav faktoring matematikom omogoča izvajanje različnih trikov za poenostavitev izrazov. Eden njegovih najlažjih trikov izkorišča dejstvo, da lahko množenje števca in imenovalec ulomka z istim številom povzroči enakovredne ulomke. Glejte naslednje:
-
Recimo naš začetni primer izraza, 9x2 + 27x - 3, je količnik večjega ulomka s 3 kot števcem. Zlom bo videti tako: (9x2 + 27x - 3)/3. Za poenostavitev ulomkov lahko uporabimo faktoring.
- Zamenjajmo faktoring obliko našega prvotnega izraza za izraz v števcu: (3 (3x2 + 9x - 1))/3
- Upoštevajte, da imata tako števec kot imenovalec koeficient 3. Če števec in imenovalec delimo s 3, dobimo: (3x2 + 9x - 1)/1.
- Ker je vsak ulomek z imenovalcem 1 enakovreden izrazom v števcu, lahko rečemo, da lahko naš začetni ulomek poenostavimo na 3x2 + 9x - 1.
Metoda 3 od 3: Uporaba dodatnih spretnosti poenostavitve
Korak 1. Poenostavite ulomke z deljenjem z istimi faktorji
Kot je navedeno zgoraj, če imata števec in imenovalec enačbe enake faktorje, lahko te faktorje v ulomku popolnoma izpustimo. Včasih bo to zahtevalo upoštevanje števca, imenovalca ali obojega (kot velja v zgornjem primeru problema), včasih pa so isti dejavniki pogosto očitni. Upoštevajte, da je mogoče tudi izraze števnika deliti z enačbo v imenovalcu enega za drugim, da dobimo preprost izraz.
-
Delajmo na primeru, ki ne zahteva faktoringa. Za ulomke (5x2 + 10x + 20)/10, lahko za poenostavitev razdelimo vsak izraz v števcu za 10, tudi če je koeficient 5 v 5x2 ni večja od 10, zato 10 ni faktor.
Če to storimo, dobimo ((5x2)/10) + x + 2. Če želimo, lahko prvi izraz prepišemo kot (1/2) x2 tako dobimo (1/2) x2 +x+2.
Korak 2. Uporabite kvadratne faktorje za poenostavitev korenin
Izraz pod korenskim znakom se imenuje korenski izraz. Ta izraz lahko poenostavimo tako, da identificiramo kvadratne faktorje (faktorje, ki so kvadrati celih števil) in ločeno izvedemo operacijo kvadratnega korena, da jih odstranimo izpod znaka kvadratnega korena.
-
Naredimo preprost primer - (90). Če pomislimo na 90 kot produkt njegovih dveh faktorjev, 9 in 10, lahko vzamemo kvadratni koren 9, ki je celo število 3, in ga odstranimo iz radikalnega znaka. Z drugimi besedami:
- √(90)
- √(9 × 10)
- (√(9) × √(10))
- 3 × √(10)
- 3√(10)
Korak 3. Dodajte eksponente pri množenju dveh eksponentov; odštejte pri deljenju
Nekateri algebrski izrazi zahtevajo množenje ali deljenje izrazov moči. Namesto da ročno izračunate ali delite vsak eksponent, samo dodajte eksponente pri množenju in odštejte pri deljenju, da prihranite čas. Ta koncept se lahko uporablja tudi za poenostavitev spremenljivih izrazov.
-
Na primer, uporabimo izraz 6x3 × 8x4 + (x17/x15). V vsakem primeru, kjer je potrebno množenje ali deljenje eksponentov, bomo odšteli ali dodali eksponente, da hitro najdemo preprost izraz. Glejte naslednje:
- 6x3 × 8x4 + (x17/x15)
- (6 × 8) x3 + 4 + (x17 - 15)
- 48x7 +x2
-
Za razlago, kako deluje, glejte spodaj:
- Množenje izrazov v eksponentih je pravzaprav podobno množenju izrazov ne v dolgih eksponentih. Na primer, ker x3 = x × x × x in x 5 = x × x × x × x × x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) ali x8.
- Skoraj enako deljenje eksponentov je kot deljenje izrazov, ne dolgih eksponentov. x5/x3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Ker je vsak izraz v števcu mogoče prečrtati tako, da v imenovalcu najdemo isti izraz, sta v števcu le dva x in na dnu nič, kar daje odgovor x2.
Nasveti
- Vedno si zapomnite, da si morate te številke predstavljati kot pozitivne in negativne. Mnogi ljudje nehajo razmišljati, kakšen znak naj dam tukaj?
- Vprašajte za pomoč, če jo potrebujete!
- Poenostavitev algebrskih izrazov ni enostavna, a ko jo boste razumeli, jo boste uporabljali do konca svojega življenja.
Opozorilo
- Vedno iščite podobna plemena in ne bodite zavedeni glede ranga.
- Pazite, da ne dodate številk, pooblastil ali dejanj, ki ne bi smela biti nenamerno.
