Trinom je algebrski izraz, sestavljen iz treh izrazov. Najverjetneje se boste začeli učiti, kako faktoriti kvadratni trinom, kar pomeni trinom, zapisan v obliki ax2 + bx + c. Naučiti se je treba nekaj trikov, ki jih je mogoče uporabiti za številne različne vrste kvadratnih trinomov, vendar jih boste s prakso lahko bolje in hitreje uporabili. Polinomi višjega reda z izrazi, kot je x3 ali x4, ni mogoče vedno rešiti na enak način, vendar lahko pogosto uporabite preprosto faktoring ali zamenjavo, da ga spremenite v problem, ki ga je mogoče rešiti kot katero koli drugo kvadratno formulo.
Korak
Metoda 1 od 3: Faktoring x2 + bx + c
Korak 1. Naučite se množenja PLDT
Morda ste se naučili, kako pomnožiti PLDT ali "First, Outside, In, Last", da pomnožite izraze, kot je (x+2) (x+4). Koristno je vedeti, kako deluje to množenje, preden upoštevamo:
- Pomnožite plemena Najprej: (x+2)(x+4) = x2 + _
-
Pomnožite plemena Zunaj: (x+2) (x+
4. korak.) = x2+ 4x + _
-
Pomnožite plemena V: (x+
2. korak.)(x+4) = x2+4x+ 2x + _
-
Pomnožite plemena Končno: (x+
2. korak.) (x
4. korak.) = x2+4x+2x
8. korak.
- Poenostavite: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8
Korak 2. Razumeti faktoring
Ko z metodo PLDT pomnožite dva binoma, dobite trinom (izraz s tremi izrazi) v obliki a x2+ b x+ c, kjer so a, b in c navadna števila. Če začnete z enačbo enake oblike, jo lahko faktorite nazaj v dva binoma.
- Če enačbe niso zapisane v tem vrstnem redu, enačbe preuredite tako, da imajo ta vrstni red. Na primer, prepišite 3x - 10 + x2 Postane x2 + 3x - 10.
- Ker je največja moč 2 (x2, se ta vrsta izraza imenuje kvadratna.
Korak 3. Pustite prazen prostor za odgovor v obliki množenja PLDT
Zaenkrat samo napiši (_ _)(_ _) kamor boste zapisali odgovor. Med delom na njem ga bomo zapolnili
Ne pišite + ali - med praznimi izrazi, ker še ne poznamo pravilnega znaka
Korak 4. Izpolnite prve pogoje
Za preproste težave je prvi člen vašega trinoma samo x2, so izrazi na prvem mestu vedno x in x. To so dejavniki izraza x2 ker x krat x = x2.
- Naš primer x2 + 3x - 10 začenši z x2, zato lahko zapišemo:
- (x _) (x _)
- V naslednjem razdelku bomo obravnavali kompleksnejše težave, vključno s trinomi, ki se začnejo s izrazi, kot je 6x2 ali -x2. Medtem sledite tem vzorčnim vprašanjem.
Korak 5. S faktoringom uganite zadnje izraze
Če se vrnete nazaj in preberete korake, kako pomnožiti PLDT, boste videli, da bo pomnoževanje zadnjih izrazov ustvarilo zadnji izraz v polinomu (izrazi, ki nimajo x). Torej, če upoštevamo faktor, moramo najti dve številki, ki bosta, ko pomnožimo, ustvarila zadnji izraz.
- V našem primeru x2 + 3x - 10, zadnji izraz je -10.
- Kateri so faktorji -10? Katero število pomnožite z -10?
- Obstaja več možnosti: -1 krat 10, 1 krat -10, -2 krat 5 ali 2 -krat -5. Zapišite si te pare, da si jih zapomnite.
- Ne spreminjajte še našega odgovora. Naš odgovor bi moral izgledati takole: (x _) (x _).
Korak 6. Preizkusite možnosti, ki se ujemajo z zunanjim in notranjim izdelkom
Zadnje pogoje smo zožili na nekaj možnosti. S preskusnim sistemom preizkusite vse možnosti, pomnožite zunanje in notranje izraze ter primerjajte izdelek z našim trinomom. Na primer:
- Naš prvotni problem je imel izraz "x" pri 3x, zato bi se morali naši rezultati testov ujemati s tem izrazom.
- Preskusi -1 in 10: (x -1) (x+10). Zunaj + Notranjost = 10x - x = 9x. Napačno.
- Preskusi 1 in -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. To je narobe. Pravzaprav, če preizkusite -1 in 10, boste ugotovili, da sta 1 in -10 nasprotni od zgornjega odgovora: -9x namesto 9x.
- Preskusi -2 in 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Rezultat ustreza začetnemu polinomu, zato je pravilen odgovor: (x-2) (x+5).
- V preprostih primerih, kot je ta, če nimate konstante pred izrazom x2, lahko uporabite hiter način: samo seštejte dva faktorja in za njim postavite »x« (-2+5 → 3x). Vendar pa ta metoda ne deluje za bolj zapletene težave, zato se je bolje spomniti zgoraj opisane "dolge poti".
Metoda 2 od 3: Faktoriranje bolj zapletenih trinomov
Korak 1. Uporabite preprosto faktoring, da poenostavite kompleksnejše težave
Na primer, morate upoštevati 3x2 + 9x - 30. Poiščite številko, ki lahko upošteva vse tri izraze ("največji skupni faktor" ali GCF). V tem primeru je GCF 3:
- 3x2 = (3) (x2)
- 9x = (3) (3x)
- -30 = (3)(-10)
- Tako 3x2 + 9x - 30 = (3) (x2+3x-10). Nov trinom lahko izločimo s koraki v zgornjem razdelku. Naš končni odgovor bo (3) (x-2) (x+5).
Korak 2. Poiščite bolj zapletene dejavnike
Včasih lahko faktoring vključuje spremenljivko ali pa boste morali večkrat faktoriti, da boste našli najpreprostejši možni izraz. Tu je nekaj primerov:
- 2x2y + 14xy + 24y = (2 leta)(x2 + 7x + 12)
- x4 + 11x3 - 26x2 = (x2)(x2 +11x - 26)
- -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
- Ne pozabite prenoviti novega trinoma s koraki v 1. metodi. Preverite svoje delo in poiščite primere podobnih težav v vzorčnih vprašanjih na dnu te strani.
Korak 3. Rešite težave s številko pred x2.
Nekaterih kvadratnih trinomov ni mogoče reducirati na najlažjo vrsto problema. Naučite se reševati težave, kot je 3x2 + 10x + 8, nato pa vadite sami z vzorčnimi vprašanji na dnu te strani:
- Naš odgovor nastavite tako: (_ _)(_ _)
- Naši "prvi" izrazi bodo imeli po en x, njihovo pomnoževanje pa 3x2. Obstaja le ena možnost: (3x _) (x _).
- Navedite faktorje 8. Kvote so 1 krat 8 ali 2 krat 4.
- Preizkusite to možnost z uporabo zunanjih in notranjih izrazov. Upoštevajte, da je vrstni red faktorjev zelo pomemben, ker se zunanji izraz pomnoži s 3x namesto x. Preizkusite vse možnosti, dokler ne dobite Out+In = 10x (iz prvotne težave):
- (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x ne
- (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x ne
- (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x ne
- (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x ja. To je pravilen faktor.
Korak 4. Za trinomi višjega reda uporabite zamenjavo
Vaša matematična knjiga vas lahko preseneti z enačbami z visokimi močmi, kot je x4, tudi potem, ko za lažjo težavo uporabite preprosto faktoring. Poskusite zamenjati novo spremenljivko, ki jo spremeni v težavo, ki jo znate rešiti. Na primer:
- x5+13x3+36x
- = (x) (x4+13x2+36)
- Ustvarimo novo spremenljivko. Recimo y = x2 in vanj vstavi:
- (x) (y2+13y+36)
- = (x) (y+9) (y+4). Zdaj ga pretvorite nazaj v začetno spremenljivko:
- = (x) (x2+9) (x2+4)
- = (x) (x ± 3) (x ± 2)
Metoda 3 od 3: Faktoring posebnih primerov
Korak 1. Poiščite prosta števila
Poglej, ali je konstanta v prvem ali tretjem členu trinoma osnovno število. Prvo število je deljivo samo s seboj in 1, zato obstaja le en možen par binomskih faktorjev.
- Na primer v x2 + 6x + 5, 5 je prosto število, zato mora biti binom v obliki (_ 5) (_ 1).
- V problemu 3x2+10x+8, 3 je prosto število, zato mora biti binom v obliki (3x _) (x _).
- Za vprašanja 3x2+4x+1, tako 3 kot 1 sta prosti števili, zato je edina možna rešitev (3x+1) (x+1). (Še vedno morate pomnožiti to število, da preverite svoj odgovor, ker nekaterih izrazov sploh ni mogoče upoštevati - na primer 3x2+100x+1 nima faktorja.)
Korak 2. Ugotovite, ali je trinom popoln kvadrat
Popoln kvadratni trinom lahko razdelimo na dva enaka binoma in faktor je običajno zapisan kot (x+1)2 in ne (x+1) (x+1). Tu je nekaj primerov, ki se pojavljajo v vprašanjih:
- x2+2x+1 = (x+1)2, in x2-2x+1 = (x-1)2
- x2+4x+4 = (x+2)2, in x2-4x+4 = (x-2)2
- x2+6x+9 = (x+3)2, in x2-6x+9 = (x-3)2
- Popoln kvadratni trinom v obliki a x2 + bx + c ima vedno izraza a in c, ki sta pozitivna popolna kvadrata (na primer 1, 4, 9, 16 ali 25) in en člen b (pozitiven ali negativen), ki je enak 2 (√a * √c).
Korak 3. Ugotovite, ali težava nima rešitve
Vseh trinomov ni mogoče upoštevati. Če ne morete faktoriti kvadratnega trinoma (ax2+bx+c), poiščite odgovor po kvadratni formuli. Če je edini odgovor kvadratni koren negativnega števila, ni prave rešitve števila, potem problem nima faktorjev.
Za kvadratne trinome uporabite Eisensteinovo merilo, ki je opisano v razdelku Nasveti
Odgovori in vzorčna vprašanja
-
Odgovori na vprašanja o "zapletenem faktoringu".
To so vprašanja iz koraka "bolj zapletenih dejavnikov". Težave smo poenostavili v lažje, zato jih poskusite rešiti s koraki v 1. metodi, nato pa preverite svoje delo tukaj:
- (2y) (x2 + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (x2) (x2 + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x2 -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)2
-
Poskusite z bolj zapletenimi težavami pri faktoringu.
Te težave imajo v vsakem izrazu enak dejavnik, ki ga je treba najprej upoštevati. Blokirajte prazna polja za znakom enakosti, če si želite ogledati odgovore, da boste lahko preverili svoje delo:
- 3x3+3x2-6x = (3x) (x+2) (x-1) blokirajte prazno, da vidite odgovor
- -5x3y2+30x2y2-25 let2x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
-
Vadite z uporabo vprašanj. Teh težav ni mogoče vključiti v lažje enačbe, zato boste morali odgovor najti v obliki (_x + _) (_ x + _) s pomočjo poskusov in napak:
- 2x2+3x-5 = (2x+5) (x-1) blok, če si želite ogledati odgovor
- 9x2+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)2 (Namig: za 9x boste morda želeli preizkusiti več kot en par faktorjev.)
Nasveti
- Če ne morete ugotoviti, kako faktoriti kvadratni trinom (ax2+bx+c), za iskanje x lahko uporabite kvadratno formulo.
-
Čeprav vam ni treba vedeti, kako to storiti, lahko z Eisensteinovimi merili hitro ugotovite, ali polinoma ni mogoče poenostaviti in upoštevati. To merilo velja za kateri koli polinom, vendar ga je najbolje uporabiti za trinome. Če obstaja prvo število p, ki enakomerno deli zadnja dva člena in izpolnjuje naslednje pogoje, potem polinoma ni mogoče poenostaviti:
- Konstantni izrazi (brez spremenljivk) so večkratniki p, ne pa tudi večkratniki p2.
- Predpona (na primer a in ax)2+bx+c) ni večkratnik p.
- Na primer 14x2 +45x +51 ni mogoče poenostaviti, ker obstaja praštevilo (3), ki je lahko deljivo s 45 in 51, ni pa deljivo s 14 in 51 ni deljivo s 32.
Opozorilo
Čeprav to velja za kvadratne trinome, trinom, ki ga je mogoče faktoriti, ni nujno produkt dveh binoma. Na primer, x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2) (x2 - 5x + 23).
