6 načinov faktorjenja polinomov druge stopnje (kvadratne enačbe)

2025 Avtor: Jason Gerald | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2025-01-23 12:45

Polinom vsebuje spremenljivko (x) z močjo, znano kot stopnjo, in več izrazov in/ali konstant. Faktor polinoma pomeni razčleniti enačbo na enostavnejše enačbe, ki jih je mogoče pomnožiti. Ta veščina je v Algebri 1 in novejši, zato jo je težko razumeti, če vaše matematične sposobnosti niso na tej ravni.

Korak

Začni

Korak 1. Nastavite svojo enačbo

Standardna oblika kvadratne enačbe je:

sekira² + bx + c = 0

Začnite z razvrščanjem izrazov v enačbi od najvišje do najnižje moči, tako kot v tej standardni obliki. Na primer:

6 + 6x² + 13x = 0

To enačbo bomo preuredili, da bo lažje delati s preprostim premikanjem izrazov:

6x² + 13x + 6 = 0

Korak 2. Poiščite faktor oblike z eno od naslednjih metod

Če upoštevamo polinom, dobimo dve enostavnejši enačbi, ki ju lahko pomnožimo, da dobimo prvotni polinom:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

V tem primeru sta (2x + 3) in (3x + 2) faktorja prvotne enačbe, 6x² +13x+6.

Korak 3. Preverite svoje delo

Pomnožite dejavnike, ki jih imate. Nato združite podobne izraze in končali ste. Začeti z:

(2x + 3) (3x + 2)

Poskusimo pomnožiti izraze z uporabo PLDT (prvi - zunaj - znotraj - zadnji), kar ima za posledico:

6x² + 4x + 9x + 6

Od tu lahko seštejemo 4x in 9x, ker sta podobna izrazu. Vemo, da so naši faktorji pravilni, ker dobimo prvotno enačbo:

6x² + 13x + 6

Metoda 1 od 6: Poskus in napaka

Če imate dokaj preprost polinom, boste morda sami ugotovili dejavnike, če jih pogledate. Na primer, po vadbi lahko mnogi matematiki ugotovijo, da je enačba 4x² + 4x + 1 ima faktor (2x + 1) in (2x + 1), če ga gledamo pogosto. (To seveda ne bo enostavno za bolj zapletene polinome). Za ta primer uporabimo manj pogosto uporabljeno enačbo:

3x² + 2x - 8

Korak 1. Napišite seznam dejavnikov izraza a in izraza c

Z uporabo oblike enačb osi² + bx + c = 0, določite izraza a in c ter zapišite dejavnike, ki jih imata oba izraza. Za 3x² + 2x - 8, kar pomeni:

a = 3 in ima niz faktorjev: 1 * 3

c = -8 in ima štiri sklope faktorjev: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 in -1 * 8.

Korak 2. Zapišite dva niza oklepajev s praznimi presledki

Za vsako enačbo boste izpolnili prazna polja, ki ste jih ustvarili s konstantami:

(x) (x)

Korak 3. Izpolnite prazna polja pred x z možnimi pari faktorjev za vrednost a

Za izraz a v našem primeru 3x², za naš primer obstaja samo ena možnost:

(3x) (1x)

Korak 4. Dve praznini za x izpolnite s pari faktorjev za konstanto

Recimo, da izberemo 8 in 1. Vanj zapišite:

(3x

8. korak.)(

Korak 1

Korak 5. Določite znak (plus ali minus) med spremenljivko x in številko

Odvisno od znakov v izvirni enačbi je mogoče iskati znake za konstante. Recimo, da za naša dva faktorja kličemo dve konstanti h in k:

Če sekira² + bx + c nato (x + h) (x + k)

Če sekira² - bx - c ali sekira² + bx - c potem (x - h) (x + k)

Če sekira² - bx + c potem (x - h) (x - k)

V našem primeru 3x² + 2x - 8, znaki so: (x - h) (x + k), kar nam daje dva dejavnika:

(3x + 8) in (x - 1)

Korak 6. Preizkusite svoje izbire z uporabo množenja prvega v zadnjem (PLDT)

Prvi hitri test je preveriti, ali ima srednji rok vsaj pravilno vrednost. Če ne, ste morda izbrali napačne faktorje c. Preizkusimo naš odgovor:

(3x + 8) (x - 1)

Z množenjem dobimo:

3x² - 3x + 8x - 8

Poenostavitev te enačbe z dodajanjem podobnih izrazov (-3x) in (8x) dobimo:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

Zdaj vemo, da smo morali uporabiti napačne dejavnike:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

Korak 7. Po potrebi spremenite izbiro

V našem primeru poskusimo 2 in 4 namesto 1 in 8:

(3x + 2) (x - 4)

Zdaj je naš izraz c -8, naš zunanji/notranji produkt (3x * -4) in (2 * x) pa je -12x in 2x, kar skupaj ne bo ustvarilo pravilnega b +2x izraza.

-12x + 2x = 10x

10x 2x

Korak 8. Po potrebi spremenite vrstni red

Poskusimo zamenjati 2 in 4:

(3x + 4) (x - 2)

Zdaj je naš izraz c (4 * 2 = 8) pravilen, zunanji/notranji produkt pa je -6x in 4x. Če jih združimo:

-6x + 4x = 2x

2x -2x Približno 2x iščemo, vendar je znak napačen.

Korak 9. Po potrebi dvakrat preverite oznake

Uporabili bomo isti vrstni red, vendar enačbe z znakom minus zamenjamo:

(3x - 4) (x + 2)

Zdaj izraz c ni problem, trenutni zunanji/notranji produkt pa je (6x) in (-4x). Ker:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Zdaj lahko uporabimo pozitivno 2x iz prvotne naloge. To morajo biti pravilni dejavniki.

Metoda 2 od 6: Razkroj

Ta metoda bo opredelila vse možne dejavnike izrazov a in c ter jih uporabila za iskanje pravilnih dejavnikov. Če so številke prevelike ali ugibanje zamudno, uporabite to metodo. Uporabimo primer:

6x² + 13x + 6

Korak 1. Pomnožite izraz a z izrazom c

V tem primeru je a 6 in c je tudi 6.

6 * 6 = 36

Korak 2. Pridobite izraz b s faktoringom in preskušanjem

Iščemo dve številki, ki sta faktorja produkta a * c, ki smo ga identificirali in se seštejeta tudi k izrazu b (13).

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Korak 3. Nadomestite dve številki, ki ju dobite v enačbi kot rezultat seštevanja b

Uporabimo k in h za predstavitev dveh števil, ki jih imamo, 4 in 9:

sekira² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

Korak 4. Faktor polinoma razdelimo na skupine

Enačbe razporedite tako, da lahko vzamete največji skupni faktor prvega in drugega člena. Skupina dejavnikov mora biti enaka. Dodajte največji skupni faktor in ga postavite v oklepaj poleg skupine faktorjev; rezultat sta dva dejavnika:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Metoda 3 od 6: Triple Play

Podobno kot pri metodi razgradnje tudi metoda trojnega igranja preučuje možne dejavnike množenja izrazov a in c ter uporabe vrednosti b. Poskusite uporabiti to primer enačbe:

8x² + 10x + 2

Korak 1. Pomnožite izraz a z izrazom c

Tako kot metoda razčlenjevanja nam bo to pomagalo prepoznati kandidate za izraz b. V tem primeru je a 8 in c 2.

8 * 2 = 16

Korak 2. Poiščite dve številki, ki, pomnoženi s številkami, tvorita to število s skupno vsoto, ki je enaka izrazu b

Ta korak je enak razčlenjevanju - preizkusimo in zavržemo kandidate za konstanto. Produkt izrazov a in c je 16, izraz c pa 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Korak 3. Vzemite ti dve številki in ju preizkusite tako, da ju vključite v formulo trojnega predvajanja

Vzemimo dve številki iz prejšnjega koraka - pokličimo ju h in k - in ju vključimo v enačbo:

((ax + h) (ax + k))/ a

Dobili bomo:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Korak 4. Upoštevajte, ali je kateri od dveh izrazov v števcu deljiv z

V tem primeru smo videli, če je (8x + 8) ali (8x + 2) deljivo z 8. (8x + 8) je deljivo z 8, zato bomo ta izraz razdelili z a in ostale dejavnike pustili pri miru.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

Izraz v oklepaju je tisto, kar ostane potem, ko ga razdelimo z izrazom a.

5. korak Vzemite največji skupni faktor (GCF) enega ali obeh izrazov, če obstaja

V tem primeru ima drugi izraz GCF 2, ker je 8x + 2 = 2 (4x + 1). Združite ta rezultat z izrazom, ki ste ga dobili iz prejšnjega koraka. To so dejavniki v vaši enačbi.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metoda 4 od 6: Razlika kvadratnih korenin

Nekateri koeficienti v polinomih so lahko "kvadrati" ali produkt dveh števil. Prepoznavanje teh kvadratov vam omogoča, da hitreje faktorite več polinoma. Poskusite to enačbo:

27x² - 12 = 0

Korak 1. Odstranite največji skupni dejavnik, če je mogoče

V tem primeru lahko vidimo, da sta 27 in 12 deljiva s 3, zato dobimo:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

Korak 2. Ugotovite, ali so koeficienti vaše enačbe kvadratna števila

Če želite uporabiti to metodo, morate biti sposobni vzeti kvadratni koren obeh izrazov. (Upoštevajte, da negativnega znaka ne bomo upoštevali - ker so te številke kvadratov, so lahko produkt dveh pozitivnih ali negativnih števil)

9x² = 3x * 3x in 4 = 2 * 2

Korak 3. Z uporabo kvadratnega korena, ki ga dobite, zapišite faktorje

Vrednosti a in c bomo vzeli iz zgornjega koraka - a = 9 in c = 4, nato pa našli kvadratni koren - a = 3 in c = 2. Rezultat je koeficient faktorske enačbe:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metoda 5 od 6: Kvadratna formula

Če vse drugo ne uspe in enačbe ni mogoče upoštevati kot celoto, uporabite kvadratno formulo. Poskusite ta primer:

x² + 4x + 1 = 0

Korak 1. V kvadratne formule vnesite zahtevane vrednosti:

x = -b ± (b² - 4ac)

2a

Dobimo enačbo:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

Korak 2. Poiščite vrednost x

Dobili boste dve vrednosti. Kot je prikazano zgoraj, dobimo dva odgovora:

x = -2 + (3) ali x = -2 -(3)

Korak 3. Z vrednostjo x poiščite dejavnike

Vstavite vrednosti x, ki jih imate, v dve polinomski enačbi kot konstante. Rezultat so vaši dejavniki. Če svoje odgovore imenujemo h in k, dva dejavnika zapišemo na naslednji način:

(x - h) (x - k)

V tem primeru je naš končni odgovor:

(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))

Metoda 6 od 6: Uporaba kalkulatorja

Če vam je dovoljeno uporabljati kalkulator, grafični kalkulator precej olajša postopek faktoringa, zlasti za standardizirane teste. Ta navodila so za grafični kalkulator TI. Uporabili bomo primer enačbe:

y = x² x 2

Korak 1. Vnesite svojo enačbo v kalkulator

Uporabili boste faktoring enačbe, ki je na zaslonu zapisana [Y =].

Korak 2. S pomočjo kalkulatorja narišite enačbo

Ko vnesete svojo enačbo, pritisnite [GRAPH] - videli boste gladko krivuljo, ki predstavlja vašo enačbo (oblika pa je krivulja, ker uporabljamo polinome).

Korak 3. Poiščite mesto, kjer se krivulja seka z osjo x

Ker so polinomske enačbe običajno zapisane kot ax² + bx + c = 0, to presečišče je druga vrednost x, zaradi katere je enačba nič:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Če s pogledom nanj ne morete ugotoviti, kje se graf seka z osjo x, pritisnite [2nd] in nato [TRACE]. Pritisnite [2] ali izberite nič. Premaknite kazalec levo od križišča in pritisnite [ENTER]. Premaknite kazalec desno od križišča in pritisnite [ENTER]. Premaknite kazalec čim bližje križišču in pritisnite [ENTER]. Kalkulator bo našel vrednost x. To naredite tudi za druga križišča

Korak 4. Vstavite vrednost x, pridobljeno iz prejšnjega koraka, v enačbo dveh faktorjev

Če bi poimenovali obe vrednosti x in h, bi bile enačbe:

(x - h) (x - k) = 0

Tako sta naša dva dejavnika:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Nasveti

• Če imate kalkulator TI-84 (graf), obstaja program, imenovan SOLVER, ki bo rešil vaše kvadratne enačbe. Ta program bo rešil polinome katere koli stopnje.
• Če izraz ni zapisan, je koeficient 0. Če je temu tako, je koristno prepisati enačbo, na primer: x² + 6 = x² +0x+6.
• Če ste svoj polinom upoštevali s kvadratno formulo in dobili odgovor glede na korenine, boste morda želeli vrednost x pretvoriti v ulomek za preverjanje.
• Če izraz nima zapisanega koeficienta, je koeficient 1, na primer: x² = 1x².
• Po dovolj vaje boste sčasoma lahko faktorje polinoma v glavi. Dokler tega ne zmorete, vedno zapišite navodila.