V matematiki, faktoring je način iskanja števil ali izrazov, ki bodo pri množenju dali določeno število ali enačbo. Faktoring je koristna veščina za učenje preprostih težav z algebro; sposobnost dobrega faktoriranja postane pomembna pri obravnavi kvadratnih enačb in drugih oblik polinoma. Faktoring lahko uporabimo za poenostavitev algebrskih izrazov, da olajšamo njihove rešitve. Faktoring vam lahko celo omogoči odpravo določenih možnih odgovorov, veliko hitreje kot njihovo ročno reševanje.
Korak
Metoda 1 od 3: Faktoring števil in enostavni algebrski izrazi
Korak 1. Razumeti definicijo faktoringa, če se uporablja za posamezna števila
Faktoring je preprost koncept, v praksi pa je lahko zahteven, če ga uporabimo za kompleksne enačbe. Zato je najlažje pristopiti k konceptu faktoringa tako, da začnemo s preprostimi številkami, nato pa preidemo na preproste enačbe, preden končno preidemo na bolj zapletene aplikacije. Dejavniki števila so številke, ki pri množenju ustvarijo število. Na primer, faktorji 12 so 1, 12, 2, 6, 3 in 4, ker je 1 × 12, 2 × 6 in 3 × 4 enako 12.
- Drug način razmišljanja je, da so dejavniki števila številke, ki se lahko enakomerno razdelijo na število.
-
Ali lahko najdete vse dejavnike številke 60? Številko 60 uporabljamo za različne namene (minute v uri, sekunde v minuti itd.), Ker je lahko deljiva s precej drugimi številkami.
Faktorji 60 so 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 in 60
Korak 2. Razumejte, da je mogoče spremeniti tudi izraze spremenljivk
Tako kot je mogoče šteti same številke, se lahko upoštevajo tudi spremenljivke s številskimi koeficienti. Če želite to narediti, poiščite faktorje spremenljivih koeficientov. Znanje, kako spremenljivko faktoriti, je zelo koristno za poenostavitev algebrskih enačb, ki vključujejo to spremenljivko.
-
Spremenljivko 12x lahko na primer zapišemo kot produkt faktorjev 12 in x. 12x lahko zapišemo kot 3 (4x), 2 (6x) itd., Pri čemer uporabimo faktorje 12, ki za naše namene najbolje delujejo.
12x lahko celo faktorimo večkrat. Z drugimi besedami, ni se nam treba ustaviti pri 3 (4x) ali 2 (6x) - lahko faktorimo 4x in 6x, da dobimo 3 (2 (2x) in 2 (3 (2x). Seveda sta ta dva izraza) so enakovredne
Korak 3. Distributivno lastnost množenja uporabite za faktorske algebarske enačbe
S svojim znanjem, kako faktoriti tako posamezna števila kot spremenljivke s koeficienti, lahko poenostavite preproste algebrske enačbe tako, da poiščete faktorje, ki jih številke in spremenljivke delijo v algebrskih enačbah. Običajno za poenostavitev enačbe poskušamo najti največji skupni faktor. Ta postopek poenostavitve je možen zaradi distribucijske lastnosti množenja, ki velja za poljubno število a, b in c. a (b + c) = ab + ac.
- Poskusimo z vzorčnim vprašanjem. Za faktorizacijo algebrske enačbe 12x + 6 najprej poskusimo najti največji skupni faktor 12x in 6. 6 je največje število, ki lahko enakomerno razdeli 12x in 6, zato lahko enačbo poenostavimo na 6 (2x + 1).
- Ta postopek velja tudi za enačbe z negativnimi številkami in ulomki. Na primer, x/2 + 4 lahko poenostavimo na 1/2 (x + 8), -7x + -21 pa lahko prištejemo na -7 (x + 3).
Metoda 2 od 3: Faktoring kvadratnih enačb
Korak 1. Prepričajte se, da je enačba v kvadratni obliki (ax2 + bx + c = 0).
Kvadratne enačbe imajo obliko ax2 + bx + c = 0, kjer so a, b in c številčne konstante in niso enake 0 (upoštevajte, da je a enaka 1 ali -1). Če imate enačbo, ki ima eno spremenljivko (x) z enim izrazom x na stopnjo dveh ali več, te pogoje običajno premaknete v enačbi z uporabo preprostih algebrskih operacij, da dobite 0 na obeh straneh znaka za enakost in sekire2itd. na drugi strani.
- Pomislimo na primer na algebrsko enačbo. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 lahko poenostavimo na x2 + 6x + 9 = 0, kar je kvadratna oblika.
- Enačbe z večjo močjo x, na primer x3, x4itd. niso kvadratne enačbe. Te enačbe so kubične enačbe za četrto stopnjo itd., Razen če je enačbo mogoče poenostaviti, da odstranimo te izraze x z močmi, večjimi od 2.
Korak 2. V kvadratni enačbi, kjer je a = 1, upoštevajte (x+d) (x+e), kjer je d × e = c in d+e = b
Če je vaša kvadratna enačba v obliki x2 + bx + c = 0 (z drugimi besedami, če je koeficient izraza x2 = 1), je možno (vendar ni zagotovljeno), da se za enačbo faktorja lahko uporabi dokaj enostavna kratica. Poiščite dve številki, ki pri množenju data c in sešteti za proizvodnjo b. Ko poiščete ti dve številki d in e, ju vnesite v naslednji izraz: (x+d) (x+e). Ta dva izraza, ko jih pomnožite, vam data kvadratna enačba - z drugimi besedami, sta faktorja vaše kvadratne enačbe.
- Pomislimo na primer na kvadratno enačbo x2 + 5x + 6 = 0. 3 in 2 se pomnožijo, da dobimo 6, in dodamo, da dobimo 5, zato lahko to enačbo poenostavimo na (x + 3) (x + 2).
-
Majhna razlika v tej osnovni stenografski metodi je v razlikah v podobnostih samih:
- Če je kvadratna enačba v obliki x2-bx+c, vaš odgovor je v tej obliki: (x - _) (x - _).
- Če je enačba v obliki x2+ bx + c, vaš odgovor izgleda tako: (x + _) (x + _).
- Če je enačba v obliki x2-bx -c, vaš odgovor je v obliki (x + _) (x -_).
- Opomba: prazna števila so lahko ulomki ali decimalke. Na primer enačba x2 + (21/2) x + 5 = 0 se upošteva v (x + 10) (x + 1/2).
Korak 3. Če je mogoče, upoštevajte preverjanja
Verjemite ali ne, za nezapletene kvadratne enačbe je ena od dovoljenih metod faktoringa preučitev problema, nato pa razmislite o možnih odgovorih, dokler ne najdete pravilnega odgovora. Ta metoda je znana tudi kot faktoring s pregledom. Če je enačba v obliki ax2+bx +c in a> 1, vaš faktorski odgovor je v obliki (dx +/- _) (ex +/- _), kjer sta d in e konstanti ničelnih števil, ki pri množenju data a. Niti d niti e (ali oboje) ne more biti 1, čeprav ni nujno. Če sta oba 1, v bistvu uporabljate zgoraj opisano skrajšano metodo.
Pomislimo na primer problema. 3x2 - 8x + 4 je sprva videti težko. Ko pa spoznamo, da ima 3 samo dva dejavnika (3 in 1), postane ta enačba lažja, ker vemo, da mora biti naš odgovor v obliki (3x +/- _) (x +/- _). V tem primeru dodajanje -2 k obema praznoma daje pravilen odgovor. -2 × 3x = -6x in -2 × x = -2x. -6x in -2x seštejeta do -8x. -2 × -2 = 4, zato lahko vidimo, da izrazi v oklepajih pri množenju tvorijo prvotno enačbo.
Korak 4. Rešite tako, da izpolnite kvadrat
V nekaterih primerih je mogoče kvadratne enačbe hitro in enostavno faktoriti z uporabo posebnih algebrskih identitet. Vsaka kvadratna enačba v obliki x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Torej, če je v vaši enačbi vaša vrednost b dvakrat kvadratni koren vaše vrednosti c, lahko svojo enačbo upoštevate v (x + (koren (c)))2.
Na primer enačba x2 +6x+9 ima to obliko. 32 je 9 in 3 × 2 je 6. Torej vemo, da je faktorska oblika te enačbe (x + 3) (x + 3) ali (x + 3)2.
Korak 5. Uporabite faktorje za reševanje kvadratnih enačb
Ne glede na to, kako ste upoštevali svojo kvadratno enačbo, ko je enačba upoštevana, lahko najdete možne odgovore na vrednost x, tako da vsak faktor nastavite na nič in jih rešite. Ker iščete vrednost x, zaradi katere je vaša enačba enaka nič, je vrednost x, zaradi katere je kateri koli faktor enak nič, možen odgovor na vašo kvadratno enačbo.
Vrnimo se k enačbi x2 + 5x + 6 = 0. Ta enačba se upošteva v (x + 3) (x + 2) = 0. Če je kateri koli faktor enak 0, so vse enačbe enake 0, zato so naši možni odgovori za x številke- število, ki x + 3) in (x + 2) enaka 0. Ti številki sta -3 oziroma -2.
Korak 6. Preverite svoje odgovore - nekateri odgovori so lahko zavajajoči
Ko najdete možne odgovore za x, jih znova vključite v prvotno enačbo, da preverite, ali je odgovor pravilen. Včasih odgovori, ki jih najdete, ob ponovnem vnosu ne naredijo prvotne enačbe enake nič. Temu odgovoru pravimo devijantno in ga ne upoštevamo.
-
Postavimo -2 in -3 v x2 + 5x + 6 = 0. Najprej -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Ta odgovor je pravilen, zato je -2 pravilen odgovor.
-
Zdaj pa poskusimo -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Tudi ta odgovor je pravilen, zato je -3 pravilen odgovor.
Metoda 3 od 3: Faktoring drugih enačb
Korak 1. Če je enačba izražena v obliki a2-b2, faktor v (a+b) (a-b).
Enačbe z dvema spremenljivkama imajo različne faktorje kot osnovna kvadratna enačba. Za enačbo a2-b2 vse, kjer a in b nista enaka 0, sta faktorja enačbe (a+b) (a-b).
Na primer enačba 9x2 - 4 leta2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
Korak 2. Če je enačba izražena v obliki a2+2ab+b2, faktor v (a+b)2.
Upoštevajte, da če je trinom oblike a2-2ab+b2, faktorji oblike so nekoliko drugačni: (a-b)2.
4x enačba2 + 8xy + 4y2 se lahko prepiše kot 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. Zdaj lahko vidimo, da je oblika pravilna, zato smo lahko prepričani, da so faktorji naše enačbe (2x + 2y)2
Korak 3. Če je enačba izražena v obliki a3-b3, faktor v (a-b) (a2+ab+b2).
Nazadnje je bilo že omenjeno, da je mogoče upoštevati kubične enačbe in celo višje moči, čeprav proces faktoringa hitro postane zelo zapleten.
Na primer 8x3 - 27 let3 upoštevano v (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)
Nasveti
- a2-b2 se lahko upošteva, a2+b2 ni mogoče upoštevati.
- Spomnite se, kako upoštevati konstanto. To bi lahko pomagalo.
- Bodite previdni pri ulomkih v postopku faktoringa in delajte z ulomki pravilno in previdno.
- Če imate trinom oblike x2+ bx+ (b/2)2, faktor oblike je (x+(b/2))2. (Pri dokončanju kvadrata se lahko srečate s to situacijo.)
- Ne pozabite, da je a0 = 0 (lastnost produkta nič).
