Kako uporabljati Pitagorin izrek: 12 korakov (s slikami)

2024 Avtor: Jason Gerald | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-16 19:57

Pitagorin izrek na eleganten in praktičen način opisuje dolžine stranic pravokotnega trikotnika, zato se ta izrek še danes pogosto uporablja. Ta izrek pravi, da je za vsak pravokotni trikotnik vsota kvadratov stranic, ki niso pod kotom, enaka kvadratu hipotenuze. Z drugimi besedami, za pravokotni trikotnik s pravokotnima stranicama a in b in hipotenuzo c, a² + b² = c².

Pitagorin izrek je eden od osnovnih stebrov elementarne geometrije. Obstaja na primer nešteto aplikacij, ki uporabljajo ta izrek, da olajšajo iskanje razdalje med dvema točkama na koordinatni ravnini.

Korak

Metoda 1 od 2: Odkrivanje strani pravokotnega trikotnika

Korak 1. Poskrbite, da je vaš trikotnik pravokoten trikotnik

Pitagorin izrek velja le za pravokotne trikotnike, zato je pred nadaljevanjem zelo pomembno, da se prepričate, da so vaši trikotniki v skladu z lastnostmi pravokotnih trikotnikov. Na srečo obstaja en dejavnik, ki lahko kaže, da je vaš trikotnik pravokoten trikotnik. Vaš trikotnik mora imeti en kot 90 stopinj.

Kot znak so desni trikotniki pogosto označeni z majhnimi kvadrati za označevanje kotov 90 stopinj, ne da bi uporabili ukrivljene "krivulje". Poiščite to posebno oznako v kotu vašega trikotnika

Korak 2. Podajte spremenljivki a, b in c za stranice vašega trikotnika

V Pitagorinem izreku spremenljivki a in b predstavljata strani, ki se srečata v desnem trikotniku, spremenljivka c pa hipotenuzo - dolgo stran nasproti pravega kota. Torej, za začetek označite kratke stranice vašega trikotnika s spremenljivkama a in b (ni važno, če jih zamenjate) in označite hipotenuzo s spremenljivko c.

Korak 3. Odločite se, katero stran trikotnika želite rešiti

Pitagorin izrek matematikom omogoča, da najdejo dolžino katere koli strani pravokotnega trikotnika, dokler poznajo dolžine drugih dveh strani. Ugotovite, katera stran je neznana - a, b in/ali c. Če dolžina ene od vaših strani ni znana, ste pripravljeni nadaljevati.

• Na primer, vemo, da je dolžina hipotenuze trikotnika 5, dolžina ene od drugih strani pa 3, vendar nismo prepričani o dolžini tretje strani. V tem primeru vemo, da iščemo dolžino tretje strani, in ker poznamo dolžino drugih dveh, jo lahko rešimo! Na tem problemu bomo delali z naslednjimi koraki.
• Če ne poznate dolžin dveh strani, morate poznati eno od strani, da lahko uporabite Pitagorin izrek. Osnovne trigonometrične funkcije vam lahko pomagajo, če poznate eno stran trikotnika, ki ni poševna.

Korak 4. V enačbo vstavite dvostranske vrednosti, ki jih že poznate

V enačbo a vstavite dolžine stranic vašega trikotnika² + b² = c². Ne pozabite, da sta a in b stranice, ki niso nagnjene, medtem ko je c hipotenuza.

V našem primeru poznamo dolžino ene od strani in hipotenuzo (3 & 5), zato enačba postane 3² + b² = 5²

Korak 5. Kvadrat

Če želite rešiti svojo enačbo, začnite s kvadratom znanih strani. Če pa vam je to lažje, lahko pustite dolžine stranic na kvadrat in jih pozneje poravnate.

• V našem primeru bomo kvadrat 3 in 5 tako dobili, da dobimo

  9. korak. da

  Korak 25.. Enačbo lahko zapišemo kot 9 + b² = 25.

Korak 6. Premaknite neznano spremenljivko na drugo stran enačbe

Po potrebi uporabite osnovne algebrske operacije, da se neznana spremenljivka premakne na drugo stran enačbe, kvadrat drugih dveh spremenljivk pa na drugo stran. Če želite najti dolžino hipotenuze, je c že na drugi strani enačbe, zato vam za premik ni treba storiti ničesar.

V našem primeru je trenutna enačba 9 + b² = 25. Če želite premakniti b², odštejte obe strani enačbe za 9, tako da je rezultat b² = 16

Korak 7. Kvadratni koren obeh strani enačbe

Zdaj je na eni strani na kvadrat samo ena spremenljivka, na drugi pa številka. Kvadratni koren obeh strani za določitev dolžine neznane strani.

• V našem primeru je b² = 16, če vzamemo kvadratni koren obeh strani, dobimo b = 4. Tako lahko rečemo, da je dolžina neznane strani trikotnika enaka

  4. korak..

Korak 8. S Pitagorjevim izrekom poiščite stranice pravega pravokotnega trikotnika

Pitagorin izrek se danes pogosto uporablja zato, ker ga je mogoče uporabiti v neštetih praktičnih situacijah. Naučite se spoznati prave trikotnike v resničnem življenju - v vsakem primeru, ko se dva predmeta ali ravne črte srečata pod pravim kotom, tretji predmet ali črta pa se diagonalno poveže z obema objektoma ali črtama, potem lahko s Pitagorjevim izrekom poiščete dolžino stranice drugo, če sta znani dolžini drugih dveh strani.

• Poskusimo pravi primer, ki je nekoliko težji. Lestve se naslanjajo na stavbo. Razdalja od dna stopnic do stene je 5 metrov. Višina stopnic doseže 20 metrov. Kako dolga je lestev?

  • 5 metrov od stene in 20 metrov visoko nam pove dolžine stranic trikotnika. Ker stena in tla (predpostavljena) tvorita pravi kot in je lestev diagonalno naslonjena na steno, se lahko ta razporeditev šteje za pravokotni trikotnik z dolžinama stranic a = 5 in b = 20. Dolžina lestve je hipotenuza, zato vrednost c ni znana. Uporabimo Pitagorin izrek:

    • a² + b² = c²
    • (5) ² + (20) ² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • koren (425) = c
    • c = 20,6. Približna dolžina lestve je 20,6 metra.

Metoda 2 od 2: Izračun razdalje med dvema točkama v ravnini X-Y

Korak 1. Poiščite dve točki v ravnini X-Y

Pitagorin izrek je mogoče enostavno uporabiti za izračun razdalje ravne črte med dvema točkama v ravnini X-Y. Vse, kar morate vedeti, sta koordinati x in y obeh točk. Običajno so te koordinate zapisane skupaj v obliki (x, y).

Če želimo najti razdaljo med tema dvema točkama, bomo vsako točko obravnavali kot enega od nepravilnih kotov pravokotnega trikotnika. S tem boste lažje našli dolžine stranic a in b ter nato izračunali hipotenuzo c, ki je razdalja med obema točkama

Korak 2. Narišite dve točki na sliki

V pravilni ravnini X-Y vsaka točka (x, y), x predstavlja vodoravno koordinato, y pa navpično koordinato. Razdaljo med obema točkama lahko najdete, ne da bi jo narisali, vendar boste tako dobili vizualno podobo, s katero lahko preverite, ali je vaš odgovor pravilen.

Korak 3. Poiščite dolžino nagnjene strani vašega trikotnika

Z dvema točkama kot kota trikotnika, ki meji na hipotenuzo, poišči dolžine stranic a in b trikotnika. To lahko storite s sliko ali s formulo | x₁ - x₂| za vodoravno stran in | y₁ - y₂| za navpično stran s (x₁, y₁) kot prvo točko in (x₂, y₂) kot drugo točko.

• Naj bosta naši točki (6, 1) in (3, 5). Dolžina vodoravne stranice našega trikotnika je:

  • | x₁ - x₂|
  • |3 - 6|

  • | -3 | =

    3. korak.

• Dolžina navpične stranice je:

  • | y₁ - y₂|
  • |1 - 5|

  • | -4 | =

    4. korak.

• Torej, v našem pravokotnem trikotniku je stran a = 3 in stran b = 4.

Korak 4. S Pitagorjevo izreko poiščite dolžino hipotenuze

Razdalja med dvema točkama je dolžina hipotenuze trikotnika, katerega dve strani ste pravkar našli. S Pitagorjevim izrekom poiščite hipotenuzo, kjer je a dolžina prve strani in b dolžina druge strani.

• V našem primeru uporabljamo točke (3, 5) in (6, 1), katerih dolžine stranic so 3 in 4, zato lahko najdemo hipotenuzo na naslednji način:

  • (3) ²+(4) ² = c²

    c = koren (9+16)

    c = koren (25)

    c = 5. Razdalja med (3, 5) in (6, 1) je

    5. korak..

Nasveti

• Hipotenuza je vedno:

  • nasproti pravega kota (brez dotika desnega kota)
  • najdaljša stranica v pravokotnem trikotniku
  • v pitagorejskem izreku imenovan c
• koren (x) pomeni kvadratni koren x.
• Ne pozabite vedno preveriti svojih odgovorov. Če se vam zdi odgovor napačen, poskusite znova in poskusite znova.
• Če trikotnik ni pravokotni trikotnik, potrebujete dodatne informacije, ne le dolžin drugih dveh strani.
• Drug način preverjanja - najdaljša stran je nasproti največjemu kotu, najkrajša stran pa najmanjšemu kotu.
• Številke so ključne za zapis pravilnih vrednosti za a, b in c. Če se ukvarjate s problemom zgodbe, ga najprej zapišite v sliko.
• Če poznate samo dolžino ene strani, Pitagorin izrek ne deluje. Poskusite uporabiti trigonometrijo (sin, cos, tan) ali razmerja 30-60-90 / 45-45-90.