Kako izpeljati implicitne funkcije: 7 korakov (s slikami)

2024 Avtor: Jason Gerald | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-19 22:14

V izračunu, ko imate enačbo za y zapisano v obliki x (npr. Y = x² -3x), je enostavno uporabiti osnovne tehnike izpeljave (ki jih matematiki imenujejo tehnike implicitnih derivacij funkcij) za iskanje izpeljanke. Vendar pa za enačbe, ki jih je težko zgraditi le z izrazom y na eni strani znaka enačbe (npr. X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), je potreben drugačen pristop. S tehniko, imenovano implicitni funkcijski derivati, je enostavno najti izpeljanke enačb z več spremenljivkami, če poznate osnove eksplicitnih derivatov funkcij!

Korak

Metoda 1 od 2: Hitro izvajanje preprostih enačb

Korak 1. Izvedite izraze x kot običajno

Ko poskušate izpeljati enačbo z več spremenljivkami, kot je x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, težko je vedeti, kje začeti. Na srečo je prvi korak izvedenke implicitne funkcije najlažji. Za začetek le izvlecite izraze x in konstante na obeh straneh enačbe v skladu s pravili običajnih (eksplicitnih) izpeljank. Zaenkrat prezrite izraze y.

• Poskusimo izpeljati primer zgornje preproste enačbe. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 ima dva izraza x: x² in -5x. Če želimo izpeljati enačbo, moramo najprej narediti to, na primer:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Zmanjšajte moč 2 v x² kot koeficient odstranite x v -5x in spremenite 19 v 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Korak 2. Izvedite izraze y in dodajte (dy/dx) poleg vsakega izraza

Za naslednji korak preprosto izvedite izraze y na enak način, kot ste izpeljali izraze x. Tokrat pa zraven vsakega izraza dodajte (dy/dx), kot bi dodali koeficiente. Na primer, če znižate y², potem derivat postane 2y (dy/dx). Zanemarite izraze, ki imajo za zdaj x in y.

• V našem primeru je naša enačba zdaj videti tako: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Naslednji korak izpeljave y bomo izvedli na naslednji način:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Zmanjšajte moč 2 v y² kot koeficiente odstranite y v 8y in zraven vsakega izraza postavite dy/dx).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

Korak 3. Uporabite pravilo izdelka ali pravilo količnika za izraze z x in y

Delo z izrazi, ki imajo x in y, je nekoliko težavno, če pa poznate pravila za izdelek in količnik za izvedene finančne instrumente, vam bo to preprosto. Če izraza x in y pomnožite, uporabite pravilo za izdelek ((f × g) '= f' × g + g × f '), pri čemer izraz x nadomestimo z f, y pa g. Po drugi strani pa, če se izraza x in y medsebojno izključujeta, uporabite pravilo količnika ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), pri čemer se števec zamenja za f, imenovalec pa za g.

• V našem primeru 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, imamo samo en izraz, ki ima x in y - 2xy². Ker se x in y medsebojno pomnožimo, bomo pravilo za zmnožek izpeljali na naslednji način:

  2xy² = (2x) (y²)- nastavite 2x = f in y² = g v (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (g²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2 let² + 4xy (dy/dx)

• Če to dodamo naši glavni enačbi, dobimo 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

Korak 4. Sam (dy/dx)

Skoraj si končal! Zdaj morate le rešiti enačbo (dy/dx). To se zdi težko, vendar običajno ni - ne pozabite, da sta dva izraza a in b, pomnožena z (dy/dx), lahko zaradi distribucijske lastnosti množenja zapišemo kot (a + b) (dy/dx). Ta taktika lahko olajša ločevanje (dy/dx) - samo premaknite vse druge izraze na drugi strani oklepajev, nato jih delite s izrazi v oklepajih poleg (dy/dx).

• V našem primeru poenostavimo 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0, kot sledi:

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

Metoda 2 od 2: Uporaba naprednih tehnik

Korak 1. Vnesite vrednost (x, y), da poiščete (dy/dx) za katero koli točko

Varno! Svojo enačbo ste že implicitno izpeljali - v prvem poskusu ni enostavno delo! Uporaba te enačbe za iskanje gradienta (dy/dx) za katero koli točko (x, y) je tako enostavna, kot da vrednosti x in y za točko priključite na desno stran enačbe, nato pa najdete (dy/dx).

• Recimo, da želimo za našo zgornjo primer enačbe najti gradient v točki (3, -4). To naredimo tako, da nadomestimo 3 z x in -4 z y, pri čemer rešimo naslednje:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, oz 0, 6875.

Korak 2. Uporabite pravilo verige za funkcije znotraj funkcij

Pravilo verige je pomemben del znanja, ki ga morate imeti pri delu z računskimi težavami (vključno s težavami z implicitnimi izpeljanimi funkcijami). Pravilo verige navaja, da je za funkcijo F (x), ki jo lahko zapišemo kot (f o g) (x) je derivat F (x) enak f '(g (x)) g' (x). Za težke težave z izvedenimi implicitnimi funkcijami to pomeni, da je mogoče izpeljati različne posamezne dele enačbe in nato združiti rezultate.

• Kot preprost primer, recimo, da moramo najti izpeljanko sin (3x² + x) kot del večjega problema izpeljane implicitne funkcije za enačbo sin (3x² + x) + y³ = 0. Če si predstavljamo greh (3x² + x) kot f (x) in 3x² + x kot g (x) lahko izpeljanko najdemo na naslednji način:

  f '(g (x)) g' (x)

  (greh (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

Korak 3. Za enačbe s spremenljivkami x, y in z poiščite (dz/dx) in (dz/dy)

Čeprav so v osnovnem izračunu nenavadne, lahko nekatere napredne aplikacije zahtevajo izpeljavo implicitnih funkcij več kot dveh spremenljivk. Za vsako dodatno spremenljivko morate poiskati njeno dodatno izvedenko glede na x. Na primer, če imate x, y in z, morate poiskati oba (dz/dy) in (dz/dx). To lahko naredimo tako, da enačbo glede na x izvedemo dvakrat - najprej bomo vnesli (dz/dx) vsakič, ko izpeljemo izraz, ki vsebuje z, in drugič, vstavili (dz/dy) vsakič, ko izpeljemo z. Po tem je treba le še razrešiti (dz/dx) in (dz/dy).

• Recimo, da poskušamo izpeljati x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Najprej izpeljimo proti x in vnesite (dz/dx). Če je potrebno, ne pozabite uporabiti pravila o izdelku!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5 let⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) - 5 let⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 let⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 let⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Zdaj naredite enako za (dz/dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3 leta²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dy) = 3y² + 25ks⁴z

  (dz/dy) = (3y² + 25ks⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)