Kako določiti determinanto matrice 3X3: 11 korakov (s slikami)

2024 Avtor: Jason Gerald | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-15 08:23

Determinanta matric se pogosto uporablja v izračunu, linearni algebri in geometriji na višji ravni. Zunaj akademskih krogov inženirji in programerji računalniške grafike ves čas uporabljajo matrice in njihove determinante. Če že veste, kako določiti determinanto matrike reda 2x2, se morate le naučiti, kdaj uporabiti seštevanje, odštevanje in čas za določitev determinante matrike reda 3x3.

Korak

1. del od 2: Določanje determinant

Napišite matriko naročila 3 x 3. Začeli bomo z matriko A reda 3x3 in poskušali poiskati determinanto | A |. Spodaj je splošna oblika zapisa matrike, ki jo bomo uporabili, in primer naše matrike:

		a11	a12	a13		1	5	3
M	=	a21	a22	a23	=	2	4	7
		a31	a32	a33		4	6	2

Korak 1. Izberite vrstico ali stolpec

Izberite svojo referenčno vrstico ali stolpec. Karkoli izberete, boste še vedno dobili enak odgovor. Začasno izberite prvo vrstico. V naslednjem razdelku vam bomo dali nekaj predlogov za izbiro najlažje izračunate možnosti.

Izberite prvo vrstico vzorčne matrice A. Obkrožite številko 1 5 3. S skupnim zapisom obkrožite a₁₁ a₁₂ a₁₃.

Korak 2. Prečrtajte vrstico in stolpec prvega elementa

Poglejte vrstico ali stolpec, ki ste ga obkrožili, in izberite prvi element. Prečrtajte vrstice in stolpce. Ostale bodo nedotaknjene le 4 številke. Naredite te 4 številke matriko 2 x 2.

• V našem primeru je naša referenčna vrstica 1 5 3. Prvi element je v 1. vrstici in 1. stolpcu. Prečrtajte celotno prvo vrstico in prvi stolpec. Preostale elemente zapišite v matriko 2 x 2:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

Korak 3. Določite determinanto matrike reda 2 x 2

Ne pozabite, določite determinanto matrike [^{a_c b_d] avtor: ad - bc. Morda ste se tudi naučili določiti determinanto matrike tako, da med matrico 2 x 2. potegnete X. Pomnožite dve številki, povezani s črto / od X. Nato odštejte število, kolikokrat sta dve številki povezani s črto / so. S to formulo izračunajte determinanto matrike 2 x 2.}

• V primeru je determinanta matrike [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• Ta determinanta se imenuje manjši elementov, ki ste jih izbrali v začetni matrici. V tem primeru smo pravkar našli mladoletnika a₁₁.

Korak 4. Pomnožite število najdenih elementov z izbranim elementom

Ne pozabite, da ste izbrali elemente iz referenčne vrstice (ali stolpca), ko ste se odločali, katere vrstice in stolpce želite črtati. Pomnožite ta element z determinanto matrike 2 x 2, ki ste jo našli.

V primeru izberemo a₁₁ kar je 1. Pomnožite to število z -34 (determinanta matrice 2 x 2), da dobite 1*-34 = - 34.

5. korak Določite simbol svojega odgovora

Naslednji korak je, da morate svoj odgovor pomnožiti z 1 ali -1 kofaktor elementa, ki ste ga izbrali. Simbol, ki ga uporabljate, je odvisen od tega, kje so elementi v matriki 3 x 3. Ne pozabite, da se ta tabela simbolov uporablja za določanje množitelja vašega elementa:

• + - +
• - + -
• + - +
• Ker izberemo a₁₁ ki je označen z +, bomo število pomnožili s +1 (ali drugače povedano, ne spreminjajte). Odgovor, ki se pojavi, bo enak, in sicer - 34.
• Drug način za opredelitev simbola je uporaba formule (-1) ^{i+j, kjer sta i in j elementa vrstice in stolpca.}

Korak 6. Ta postopek ponovite za drugi element v referenčni vrstici ali stolpcu

Vrnite se na prvotno matriko 3 x 3, v kateri ste prej obkrožili vrstico ali stolpec. Enak postopek ponovite z elementom:

• Prečrtajte vrstico in stolpec elementa.

  V tem primeru izberite element a₁₂ (kar je vredno 5). Prečrtajte 1. vrstico (1 5 3) in 2. stolpec (5 4 6).

• Preostale elemente spremenite v matriko 2x2.

  V našem primeru je matrika reda 2x2 za drugi element [²₄ ⁷₂].

• Določite determinanto te matrice 2x2.

  Uporabite formulo ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)

• Pomnožite z elementi izbrane matrike 3x3.

  -24 * 5 = -120

• Odločite se, ali boste zgornji rezultat pomnožili z -1 ali ne.

  Uporabite tabelo simbolov ali formul (-1)^ij. Izberite element a₁₂ simbolizirano - v tabeli simbolov. Naš simbol odgovora zamenjajte z: (-1)*(-120) = 120.

Korak 7. Ponovite isti postopek za tretji element

Za določitev determinante imate še en kofaktor. Štejte i za tretji element v referenčni vrstici ali stolpcu. Tukaj je hiter način za izračun kofaktorja a₁₃ v našem primeru:

• Prečrtajte prvo vrstico in tretji stolpec, da dobite [²₄ ⁴₆].
• Določitev je 2*6 - 4*4 = -4.
• Pomnožite z elementom a₁₃: -4 * 3 = -12.
• Element a₁₃ simbol + v tabeli simbolov, zato je odgovor - 12.

Korak 8. Seštejte rezultate svojih treh štetj

To je zadnji korak. Izračunali ste tri kofaktorje, enega za vsak element v vrstici ali stolpcu. Če seštejete te rezultate, boste našli determinanto matrike 3 x 3.

V primeru je determinanta matrice - 34 + 120 + - 12 = 74.

2. del 2: Olajšanje reševanja težav

Korak 1. Izberite vrstico ali stolpec sklicev, ki imajo največ 0

Ne pozabite, da lahko izberete poljubno vrstico ali stolpec. Karkoli se odločite, bo odgovor enak. Če izberete vrstico ali stolpec s številko 0, morate izračunati kofaktor samo z elementi, ki niso 0, ker:

• Na primer, izberite drugo vrstico z elementom a₂₁, a₂₂, sklad₂₃. Za rešitev tega problema bomo uporabili 3 različne matrice 2 x 2, recimo A₂₁, A₂₂, Ti₂₃.
• Odrednica matrike 3x3 je a₂₁| A₂₁| - a₂₂| A₂₂| + a₂₃| A₂₃|.
• Če₂₂ sklad₂₃ vrednost 0, bo obstoječa formula a₂₁| A₂₁| - 0*| A₂₂| + 0*| A₂₃| = a₂₁| A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁| A₂₁|. Zato bomo izračunali samo kofaktor enega elementa.

Korak 2. Uporabite dodatne vrstice, da olajšate težave z matriko

Če vzamete vrednosti iz ene vrstice in jih dodate v drugo vrstico, se determinanta matrike ne bo spremenila. Enako velja za stolpce. To lahko storite večkrat ali pomnožite s konstanto, preden jo dodate, da dobite čim več 0 v matriki. To lahko prihrani veliko časa.

• Na primer, imate matriko s 3 vrsticami: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• Za odstranitev številke 9, ki je v položaju a₁₁, lahko vrednost v drugi vrstici pomnožite z -3 in rezultat dodate v prvo vrstico. Zdaj je nova prva vrstica [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
• Nova matrika ima vrstice [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Uporabite isti trik za stolpce, da naredite₁₂ naj bo številka 0.

Korak 3. Uporabite hitro metodo za trikotne matrice

V tem posebnem primeru je determinanta produkt elementov na glavni diagonali a₁₁ zgoraj levo do a₃₃ v spodnjem desnem kotu matrice. Ta matrika je še vedno matrika 3x3, vendar ima matrika "trikotnika" poseben vzorec števil, ki niso 0:

• Zgornja trikotna matrika: Vsi elementi, ki niso 0, so na glavni diagonali ali nad njo. Vse številke pod glavno diagonalo so 0.
• Spodnja trikotna matrika: Vsi elementi, ki niso 0, so na glavni diagonali ali pod njo.
• Diagonalna matrika: Vsi elementi, ki niso 0, so na glavni diagonali (podskupina zgornjih vrst matrik).

Nasveti

• Če so vsi elementi v vrstici ali stolpcu 0, je determinanta matrice 0.
• Ta metoda se lahko uporablja za vse velikosti kvadratnih matrik. Če na primer to metodo uporabite za matriko reda 4x4, bo vaš "udarec" pustil matriko reda 3x3, katere determinanto je mogoče določiti po zgornjih korakih. Ne pozabite, da je to lahko dolgočasno!