V dneh, preden so izumili kalkulatorje, so morali študenti in profesorji ročno izračunati kvadratne korenine. Za premagovanje tega težkega procesa je bilo razvitih več različnih načinov. Nekateri načini dajo grobo oceno, drugi pa natančno vrednost. Če želite izvedeti, kako s preprostimi operacijami poiskati kvadratni koren števila, za začetek glejte 1. korak spodaj.
Korak
Metoda 1 od 2: Uporaba primarne faktorizacije
Korak 1. Razdelite svoje število na popolne kvadratne faktorje
Ta metoda uporablja faktorje števila za iskanje kvadratnega korena števila (odvisno od števila je lahko odgovor točno število ali približen približek). Faktorji števila so niz drugih števil, ki pri množenju proizvedejo to število. Lahko bi na primer rekli, da sta faktorja 8 2 in 4, ker je 2 × 4 = 8. Medtem so popolni kvadrati cela števila, ki so produkt drugih celih števil. Na primer, 25, 36 in 49 so popolni kvadrati, ker so 52, 62, in 72. Kot ste morda uganili, so popolni kvadratni faktorji dejavniki, ki so tudi popolni kvadrati. Če želite začeti iskati kvadratni koren z osnovno faktorizacijo, najprej poskusite poenostaviti svoje število na njegove popolne kvadratne faktorje.
- Uporabimo primer. Kvadratni koren 400 želimo ročno najti. Za začetek bomo število razdelili na njegove popolne kvadratne faktorje. Ker je 400 večkratnik 100, vemo, da je 400 deljivo s 25 - popoln kvadrat. S hitrim deljenjem senc ugotovimo, da je 400 deljeno s 25 enako 16. Po naključju je 16 tudi popoln kvadrat. Tako so popolni kvadratni faktorji 400 25 in 16 ker je 25 × 16 = 400.
- Lahko ga zapišemo kot: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Korak 2. Poiščite kvadratni koren vaših popolnih kvadratnih faktorjev
Lastnost množenja kvadratnega korena navaja, da je za poljubno število a in b Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Zaradi te lastnosti zdaj lahko najdemo kvadratni koren naših popolnih kvadratnih faktorjev in jih pomnožimo, da dobimo odgovor.
-
V našem primeru bomo našli kvadratne korenine 25 in 16. Glej spodaj:
- Korenine (25 × 16)
- Korenine (25) × Korenine (16)
-
5 × 4 =
20. korak.
Korak 3. Če vaše številke ni mogoče popolnoma upoštevati, poenostavite odgovor v najpreprostejši obliki
V resničnem življenju pogosto številke, ki jih potrebujete za iskanje kvadratnega korena, niso prijetna cela števila z očitnimi popolnimi kvadratnimi faktorji, kot je 400. V teh primerih je možno, da ne najdemo pravega odgovora kot celo število. Če pa najdete toliko popolnih kvadratnih faktorjev, kot jih najdete, lahko odgovor najdete v obliki kvadratnega korena, ki je manjši, enostavnejši in lažji za izračun. Če želite to narediti, zmanjšajte število na kombinacijo popolnih kvadratnih faktorjev in nepopolnih kvadratnih faktorjev, nato pa poenostavite.
-
Za primer uporabimo kvadratni koren 147. 147 ni produkt dveh popolnih kvadratov, zato ne moremo dobiti natančne celoštevilčne vrednosti kot zgoraj. Vendar je 147 produkt enega popolnega kvadrata in drugega števila - 49 in 3. Te podatke lahko uporabimo za zapis odgovora v najpreprostejši obliki:
- Korenine (147)
- = Koren (49 × 3)
- = Kvadrat (49) × kvadrat (3)
- = 7 × koren (3)
Korak 4. Po potrebi ocenite
Ko je vaš kvadratni koren v najpreprostejši obliki, je običajno precej enostavno dobiti grobo oceno številskega odgovora, tako da ugibate vrednost preostalega kvadratnega korena in ga pomnožite. Eden od načinov za ugibanje je iskanje popolnih kvadratov, ki so večji in manjši od števila v vašem kvadratnem korenu. Opazili boste, da je decimalna vrednost števila v vašem kvadratnem korenu med dvema številkama, zato lahko uganite vrednost med dvema številkama.
-
Vrnimo se k našemu primeru. ker 22 = 4 in 12 = 1, vemo, da je koren (3) med 1 in 2 - verjetno bližje 2 kot 1. Ocenjujemo 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Če naš odgovor preverimo na kalkulatorju, lahko vidimo, da je naš odgovor zelo blizu pravemu odgovoru, ki je 12, 13.
To velja tudi za večje število. Koren (35) lahko na primer približamo med 5 in 6 (po možnosti bližje 6). 52 = 25 in 62 = 36. 35 je med 25 in 36, zato mora biti kvadratni koren med 5 in 6. Ker je 35 le ena manjša od 36, lahko z zaupanjem rečemo, da je kvadratni koren nekoliko manjši od 6. Preverjanje s kalkulatorjem bo odgovorite nam približno 5, 92 - imamo prav.
Korak 5. Druga možnost je, da svoj prvi korak zmanjšate na najmanj pogoste dejavnike
Iskanje faktorjev popolnih kvadratov ni potrebno, če lahko preprosto določite osnovne faktorje števila (faktorje, ki so tudi praštevila). Zapišite svojo številko glede na njene najmanj pogoste dejavnike. Nato poiščite pare osnovnih števil, ki ustrezajo vašim faktorjem. Ko najdete dva enaka osnovna faktorja, odstranite ti dve številki iz kvadratnega korena in eno od teh števil postavite izven kvadratnega korena.
-
S to metodo na primer poiščite kvadratni koren 45. Vemo, da je 45 × 5 in vemo, da je pod 9 = 3 × 3. Tako lahko svoj kvadratni koren zapišemo v smislu faktorjev, kot je ta: Sqrt (3 × 3 × 5). Odstranite obe 3 in postavite eno 3 zunaj kvadratnega korena, da poenostavite kvadratni koren v najpreprostejšo obliko: (3) Korenina (5).
Od tu naprej bomo enostavno ocenili.
-
Kot zadnji primer problema poskusimo najti kvadratni koren 88:
- Korenine (88)
- = Koren (2 × 44)
- = Koren (2 × 4 × 11)
- = Koren (2 × 2 × 2 × 11). V kvadratnem korenu imamo 2. Ker je 2 praštevilo, lahko odstranimo par dvojk in enega od njih postavimo izven kvadratnega korena.
-
= Naš kvadratni koren v najpreprostejši obliki je (2) Sqrt (2 × 11) oz (2) koren (2) koren (11).
Od tu lahko ocenimo Sqrt (2) in Sqrt (11) in poiščemo približen odgovor, kot želimo.
Metoda 2 od 2: Ročno iskanje kvadratnega korena
Z uporabo algoritma dolge delitve
Korak 1. Številke svoje številke ločite v pare
Ta metoda uporablja postopek, podoben dolgemu deljenju, da najde natančno kvadratni koren številko za številko. Čeprav to ni obvezno, boste morda lažje izvedli ta postopek, če svoje delovno mesto in svoje številke vizualno organizirate v enostavne za delo. Najprej narišite navpično črto, ki deli vaše delovno območje na dva dela, nato v zgornjem desnem kotu potegnite krajšo vodoravno črto, da desni del razdelite na manjši zgornji del in večji spodnji del. Nato ločite števke v pare, začenši z decimalno vejico. Na primer, po tem pravilu 79.520.789.182, 47897 postane "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Zgoraj levo napišite svojo številko.
Poskusimo na primer izračunati kvadratni koren 780, 14. Narišite dve črti, da razdelite svoje delovno mesto, kot je opisano zgoraj, in zgoraj levo napišite "7 80. 14". Ni pomembno, če je skrajna leva številka ena številka in ne par številk. Vaš odgovor (kvadratni koren 780, 14) boste zapisali zgoraj desno
Korak 2. Poiščite največje celo število, katerega kvadratna vrednost je manjša ali enaka številki (ali paru številk) na skrajni levi
Začnite na skrajni levi strani vaše številke, tako pari številk kot posameznih številk. Poiščite največji popoln kvadrat, ki je manjši ali enak temu številu, nato poiščite kvadratni koren tega popolnega kvadrata. Ta številka je n. Napišite n v zgornjem desnem kotu in napišite kvadrat n v spodnji desni kvadrant.
V našem primeru je skrajna leva številka 7. Ker vemo, da 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, lahko rečemo, da je n = 2, ker je 2 največje celo število, katerega kvadratna vrednost je manjša ali enaka 7. V zgornji desni kvadrant napišite 2. To je prva številka našega odgovora. V spodnji desni kvadrant napišite 4 (kvadratna vrednost 2). Ta številka je pomembna za naslednji korak.
Korak 3. Od skrajnega levega para odštejte pravkar izračunano število
Tako kot pri dolgi delitvi je naslednji korak odšteti vrednost kvadrata, ki smo ga pravkar našli, od dela, ki smo ga pravkar analizirali. To številko zapišite pod prvi del in jo odštejte, pod njo pa zapišite svoj odgovor.
-
V našem primeru bomo pod 7 zapisali 4 in ga odšteli. To odštevanje daje odgovor
3. korak..
Korak 4. Spustite naslednji par
Premaknite se navzdol v naslednji razdelek števila, za katerega iščete kvadratni koren, poleg vrednosti odštevanja, ki ste jo pravkar našli. Nato pomnožite število v zgornjem desnem kvadrantu z dvema in odgovor zapišite v spodnji desni kvadrant. Poleg številke, ki ste jo pravkar zapisali, pustite presledek za problem množenja, ki ga boste v naslednjem koraku naredili tako, da napišete '' _ × _ = '.
V našem primeru je naslednji par naših številk "80". Napišite "80" poleg 3 v levem kvadrantu. Nato pomnožite število v zgornjem desnem kotu z dvema. Ta številka je 2, zato je 2 × 2 = 4. V spodnji desni kvadrant napišite "'4"', čemur sledi _×_=.
Korak 5. Izpolnite prazna polja v desnem kvadrantu
Vse prazne točke, ki ste jih pravkar zapisali v desnem kvadrantu, morate izpolniti z istim celotnim številom. To celo število mora biti največje celo število, zaradi katerega je izdelek v desnem kvadrantu manjši ali enak številki, ki je trenutno na levi.
V našem primeru praznine zapolnimo z 8, kar ima za posledico 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Ta vrednost je večja od 384. Tako je 8 preveliko, vendar bi 7 lahko delovalo. V prazna polja vpiši 7 in reši: 4 (7) × 7 = 329. 7 je pravilno število, ker je 329 manj kot 380. 7 napiši v zgornji desni kvadrant. To je druga številka v kvadratnem korenu 780, 14
Korak 6. Odštejte število, ki ste ga pravkar izračunali, od števila, ki je zdaj na levi
Nadaljujte z verigo odštevanja z uporabo metode dolge delitve. Zmnožek problema vnesite v desni kvadrant in ga odštejte od števila, ki je zdaj na levi, medtem ko spodaj pišete svoje odgovore.
V našem primeru bomo od 380 odšteli 329, kar daje rezultat 51.
Korak 7. Ponovite 4. korak
Izvedite naslednji del števila, za katerega iščete kvadratni koren. Ko dosežete decimalno vejico v svoji številki, zapišite decimalno vejico v odgovor v zgornjem desnem kvadrantu. Nato pomnožite število v zgornjem desnem kotu z 2 in ga zapišite poleg praznega problema množenja ("_ × _"), kot je opisano zgoraj.
V našem primeru, ker zdaj obravnavamo decimalno vejico v 780, 14, zapišite decimalno vejico za našim trenutnim odgovorom v zgornjem desnem kotu. Nato spustite naslednji par (14) v levem kvadrantu. Dvakrat je število v zgornjem desnem kotu (27) enako 54, zato v spodnji desni kvadrant napišite "54 _ × _ ="
Korak 8. Ponovite koraka 5 in 6
Poiščite največjo številko, ki jo želite zapolniti na desni, kar daje odgovor, manjši ali enak številki, ki je trenutno na levi. Nato rešite težavo.
V našem primeru je 549 × 9 = 4941, kar je manjše ali enako številki na levi (5114). 549 × 10 = 5490 je prevelika, zato je 9 vaš odgovor. Napiši 9 kot naslednjo številko v zgornjem desnem kvadrantu in odštej zmnožek od številke na levi: 5114 minus 4941 je enako 173
Korak 9. Če želite nadaljevati s štetjem števk, spustite par nič na levi in ponovite korake 4, 5 in 6
Za večjo natančnost nadaljujte s tem postopkom in poiščite stotine, tisoče in več mest v svojem odgovoru. Ta cikel nadaljujte, dokler ne najdete želenega decimalnega mesta.
Razumevanje procesa
Korak 1. Predstavljajte si, da ste kvadratni koren izračunali kot površino S kvadrata
Ker je površina kvadrata P2 kjer je P dolžina ene od strani, potem skušate najti kvadratni koren vašega števila, dejansko poskušate izračunati dolžino P te strani kvadrata.
Korak 2. Določite črkovne spremenljivke za vsako številko vašega odgovora
Spremenljivko A nastavite kot prvo številko P (kvadratni koren, ki ga poskušamo izračunati). B bo druga številka, C tretja številka itd.
Korak 3. Določite črkovne spremenljivke za vsak del vaše začetne številke
Nastavite spremenljivko Sa za prvi par števk v S (vaša začetna vrednost), Sb za drugi par števk itd.
Korak 4. Razumeti razmerje med to metodo in dolgo delitvijo
Ta metoda iskanja kvadratnega korena je v bistvu problem dolgega deljenja, ki deli vaše začetno število s kvadratnim korenom, kar vam daje kvadratni koren odgovora. Tako kot pri problemu dolge delitve vas v vsakem koraku zanima le naslednja številka. Na ta način vas zanimata le naslednji dve števki v vsakem koraku (to je naslednja številka v vsakem koraku za kvadratni koren).
Korak 5. Poiščite največje število, katerega kvadratna vrednost je manjša ali enaka Sa.
Prva številka A v našem odgovoru je največje celo število, katerega kvadratna vrednost ne presega Sa (tj. A tako, da je A² Sa <(A+1) ²). V našem primeru je S.a = 7 in 2² 7 <3², torej A = 2.
Upoštevajte, da so na primer, če želite 88962 z dolgim deljenjem razdeliti na 7, so prvi koraki približno enaki: videli boste prvo številko 88962 (kar je 8) in iščete največjo številko ki je, pomnoženo s 7, manjše ali enako 8 V bistvu iščete d tako, da je 7 × d 8 <7 × (d+1). V tem primeru bo d enako 1
Korak 6. Predstavljajte si vrednost kvadrata, na območju katerega boste začeli delati
Vaš odgovor, kvadratni koren vaše začetne številke, je P, ki opisuje dolžino kvadrata s površino S (vaša začetna številka). Vaše ocene za A, B, C predstavljajo števke v vrednosti P. Drug način za to je 10A + B = P (za dvomestni odgovor), 100A + 10B + C = P (za tri- številski odgovor) itd.
V našem primeru (10A+B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Ne pozabite, da 10A+B predstavlja naš odgovor, P, pri čemer je B v položaju ena in A v položaju desetic. Na primer, pri A = 1 in B = 2, potem je 10A+B enako 12. (10A+B) ² je skupna površina kvadrata, medtem ko 100A² je površina največjega kvadrata na njem, B² je površina najmanjšega kvadrata v njem in 10A × B je površina dveh preostalih pravokotnikov. S tem dolgim in zapletenim postopkom ugotovimo skupno površino kvadrata tako, da seštejemo površine kvadratov in pravokotnikov znotraj.
Korak 7. Od S odštejte A²a.
Zmanjšajte en par števk (Sb) of S. Vrednost Sa Sb blizu celotne površine kvadrata, s katerim ste pravkar odšteli večji notranji kvadrat. Preostanek si lahko predstavljamo kot številko N1, ki smo jo dobili v 4. koraku (N1 = 380 v našem primeru). N1 je enako 2 & krat: 10A × B + B² (površina dveh pravokotnikov plus površina manjšega kvadrata).
Korak 8. Poiščite N1 = 2 × 10A × B + B², ki je zapisana tudi kot N1 = (2 × 10A + B) × B
V našem primeru že poznate N1 (380) in A (2), zato morate najti B. B najverjetneje ni celo število, zato morate res najti največje celo število B, tako da (2 × 10A + B) × B N1. Torej imate: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
Korak 9. Dokončaj
Če želite rešiti to enačbo, pomnožite A z 2, rezultat premaknite v položaj desetic (kar je enakovredno množenju z 10), postavite B v položaj tistih in pomnožite število z B. Z drugimi besedami, rešite (2 × 10A + B) × B. Točno to storite, ko v 4. koraku v spodnji desni kvadrant napišete "N_ × _ =" (z N = 2 × A). V 5. koraku najdete največje celo število B, ki ustreza število pod njim, tako da (2 × 10A + B) × B N1.
Korak 10. Od skupne površine odštejte površino (2 × 10A + B) × B
Rezultat tega odštevanja je območje S- (10A+B) ², ki ni bilo izračunano (in ki bo uporabljeno za izračun naslednje številke na enak način).
Korak 11. Za izračun naslednje številke C ponovite postopek
Spustite naslednji par (Sc) od S, da dobite N2 na levi, in poiščite največji C, tako da imate (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (kar ustreza dvakratnemu pisanju dvomestnega števila "AB", čemur sledi "_ × _ =". V praznih prostorih poiščite največjo ujemajočo se številko, ki poda odgovor, manjši ali enak N2, kot prej.
Nasveti
- Premikanje decimalne vejice za večkratnik dveh števk v številki (večkratnik 100) pomeni premik decimalke za večkratnik ene števke v njenem kvadratnem korenu (večkratnik 10).
- V tem primeru lahko 1,73 velja za "ostanek": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Ta metoda se lahko uporablja za katero koli osnovo, ne samo za osnovo 10 (decimalno).
- Uporabite lahko račun, ki vam ustreza. Nekateri zapišejo rezultat nad začetno številko.
- Alternativni način uporabe ponavljajočih se ulomkov je slediti tej formuli: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Na primer, za izračun kvadratnega korena 780, 14 je celo število, katerega kvadratna vrednost je najbližje 780, 14, 28, zato je z = 780, 14, x = 28 in y = -3, 86. Vnos vrednosti in izračunavanje ocen samo za x + y/(2x) prinese (najenostavneje) 78207/20800 ali približno 27, 931 (1); naslednji termin, 4374188/156607 ali približno 27, 930986 (5). Vsak izraz doda približno 3 decimalna mesta natančnosti prejšnjega števila decimalnih mest.
