Koreninska oblika je algebrska izjava, ki ima znak kvadratnega korena (ali kockastega korena ali višjega). Ta obrazec lahko pogosto predstavlja dve številki z isto vrednostjo, čeprav se na prvi pogled lahko razlikujeta (na primer 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Zato za tovrstno obliko potrebujemo "standardno formulo". Če obstajata dve izjavi, ki sta v standardni formuli različni, nista enaki. Matematiki se strinjajo, da standardna formulacija kvadratne oblike izpolnjuje naslednje zahteve:
- Izogibajte se uporabi ulomkov
- Ne uporabljajte delnih moči
- Izogibajte se uporabi korenskega obrazca v imenovalcu
- Ne vsebuje množenja dveh korenskih oblik
- Številk pod korenom ni več mogoče ukoreniniti
Ena praktična uporaba tega je pri izpitih z več izbirami. Ko najdete odgovor, vendar vaš odgovor ni enak razpoložljivim možnostim, ga poskusite poenostaviti v standardno formulo. Ker oblikovalci vprašanj običajno pišejo odgovore v standardnih formulah, storite enako z vašimi odgovori, da se ujemajo z njihovimi. Pri esejističnih vprašanjih ukazi, kot sta "poenostavi odgovor" ali "poenostavi vse korenine", pomenijo, da morajo učenci izvesti naslednje korake, dokler ne izpolnijo standardne formule, kot je opisano zgoraj. Ta korak je mogoče uporabiti tudi za reševanje enačb, čeprav je nekatere vrste enačb lažje rešiti v nestandardnih formulah.
Korak
Korak 1. Po potrebi preglejte pravila za operacijske korenine in eksponente (oba sta enaka - korenine so moči ulomkov), saj jih v tem procesu potrebujemo
Preglejte tudi pravila za poenostavitev polinoma in racionalnih oblik, saj jih bomo morali poenostaviti.
Metoda 1 od 6: Popolni kvadrati
Korak 1. Poenostavite vse korenine, ki vsebujejo popolne kvadrate
Popoln kvadrat je zmnožek samega števila, na primer 81, ki je produkt 9 x 9. Če želite poenostaviti popoln kvadrat, preprosto odstranite kvadratni koren in zapišite kvadratni koren številke.
- Na primer, 121 je popoln kvadrat, ker je 11 x 11 enako 121. Tako lahko koren (121) poenostavite na 11, tako da odstranite korenski znak.
- Za lažji korak si morate zapomniti prvih dvanajst popolnih kvadratov: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Korak 2. Poenostavite vse korenine, ki vsebujejo popolne kocke
Popolna kocka je zmnožek števila samo po sebi dvakrat, na primer 27, ki je zmnožek 3 x 3 x 3. Če želite poenostaviti korensko obliko popolne kocke, preprosto odstranite kvadratni koren in zapišite kvadratni koren števila.
Na primer, 343 je popolna kocka, ker je produkt 7 x 7 x 7. Torej je koren kocke 343 7
Metoda 2 od 6: Pretvorba ulomkov v korenine
Ali pa spremenite obratno (včasih pomaga), vendar jih ne mešajte v isto izjavo kot root (5) + 5^(3/2). Predvidevali bomo, da želite uporabiti korenski obrazec, za kvadratni koren pa bomo uporabili simbole root (n), za koren kocke pa sqrt^3 (n).
Korak 1. Vzemite eno v moč ulomka in jo pretvorite v korensko obliko, na primer x^(a/b) = koren v b moč x^a
Če je kvadratni koren v obliki ulomka, ga pretvorite v običajno obliko. Na primer, kvadratni koren (2/3) iz 4 = koren (4)^3 = 2^3 = 8
Korak 2. Pretvorite negativne eksponente v ulomke, na primer x^-y = 1/x^y
Ta formula velja le za stalne in racionalne eksponente. Če imate opravka z obrazcem, kot je 2^x, ga ne spreminjajte, čeprav težava kaže, da je x lahko ulomek ali negativno število
3. korak. Združite isto pleme in poenostaviti nastalo racionalno obliko.
Metoda 3 od 6: Odstranjevanje ulomkov v koreninah
Standardna formula zahteva, da je koren celo število.
Korak 1. Poglejte številko pod kvadratnim korenom, če še vedno vsebuje ulomek
Če še vedno,…
Korak 2. Preklopite na ulomek, sestavljen iz dveh korenin, z uporabo istovetnega korena (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Te identitete ne uporabljajte, če je imenovalec negativen ali če je spremenljivka lahko negativna. V tem primeru najprej poenostavite ulomek
Korak 3. Poenostavite vsak popoln kvadrat rezultata
To pomeni, da pretvorite sqrt (5/4) v sqrt (5)/sqrt (4), nato poenostavite v sqrt (5)/2.
Korak 4. Uporabite druge metode poenostavitve, na primer poenostavitev kompleksnih ulomkov, združevanje enakih izrazov itd
Metoda 4 od 6: Združevanje korenin množenja
Korak 1. Če pomnožite eno korensko obliko z drugo, združite obe v enem kvadratnem korenu po formuli:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Na primer, spremenite root (2)*root (6) v root (12).
- Zgornja identiteta, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), je veljavna, če številka pod znakom sqrt ni negativna. Te formule ne uporabljajte, če sta a in b negativna, ker boste naredili napako, ko boste naredili sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Stavek na levi je enak -1 (ali nedefiniran, če ne uporabljate kompleksnih števil), medtem ko je stavek na desni +1. Če sta a in/ali b negativna, najprej "spremenite" znak, kot je sqrt (-5) = i*sqrt (5). Če je obrazec pod korenskim znakom spremenljivka, katere znak iz konteksta ni znan ali je lahko pozitiven ali negativen, ga zaenkrat pustite takšnega, kot je. Uporabite lahko splošnejšo identiteto, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |), ki velja za vsa realna števila a in b, običajno pa ta formula ne pomaga veliko, ker dodaja kompleksnost pri uporabi funkcije sgn (signum).
- Ta identiteta velja le, če imajo oblike korenin enak eksponent. Različne kvadratne korenine, kot je sqrt (5)*sqrt^3 (7), lahko pomnožite tako, da jih pretvorite v isti kvadratni koren. Če želite to narediti, začasno pretvorite kvadratni koren v ulomek: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Nato uporabite pravilo množenja, da dva pomnožite s kvadratnim korenom 6125.
Metoda 5 od 6: Odstranitev kvadratnega faktorja iz korena
Korak 1. Faktoriranje nepopolnih korenin v glavne dejavnike
Faktor je število, ki, pomnoženo z drugim številom, tvori število - na primer 5 in 4 sta dva faktorja 20. Če želite razčleniti nepopolne korenine, zapišite vse faktorje števila (ali čim več, če število je preveliko), dokler ne najdete popolnega kvadrata.
Na primer, poskusite najti vse faktorje 45: 1, 3, 5, 9, 15 in 45. 9 je faktor 45 in je tudi popoln kvadrat (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Korak 2. Iz kvadratnega korena odstranite vse množitelje, ki so popolni kvadrati
9 je popoln kvadrat, ker je produkt 3 x 3. Vzemite 9 iz kvadratnega korena in ga zamenjajte s 3 pred kvadratnim korenom, 5 pa pustite znotraj kvadratnega korena. Če "vstavite" 3 nazaj v kvadratni koren, pomnožite sami, da dobite 9, in če pomnožite s 5, se vrne 45. 3 korenine 5 je preprost način izražanja korena 45.
To pomeni, da je sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
Korak 3. Poiščite popoln kvadrat v spremenljivki
Kvadratni koren na kvadrat je | a |. To lahko poenostavite na samo "a", če je znana spremenljivka pozitivna. Kvadratni koren a do moči 3, če ga razčlenimo na kvadratni koren kvadrata krat a - ne pozabite, da se eksponenti seštejejo, ko pomnožimo dve številki na moč a, tako da je kvadrat krat a enak a tretja moč.
Zato je popoln kvadrat v obliki kocke kvadrat
Korak 4. Od kvadratnega korena odstranite spremenljivko, ki vsebuje popoln kvadrat
Zdaj vzemite kvadrat iz kvadratnega korena in ga spremenite v | a |. Preprosta oblika korena a z močjo 3 je | a | koren a.
Korak 5. Združite enake pogoje in poenostavite vse korenine rezultatov izračuna
Metoda 6 od 6: Racionalizirajte imenovalec
Korak 1. Standardna formula zahteva, da je imenovalec čim večje število (ali polinom, če vsebuje spremenljivko)
-
Če je imenovalec sestavljen iz enega izraza pod korenskim znakom, na primer […]/root (5), potem pomnožite števec in imenovalec s tem korenom, da dobite […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = […]*koren (5)/5.
Za kockaste korenine ali višje pomnožite z ustreznim korenom, tako da bo imenovalec racionalen. Če je imenovalec koren^3 (5), števec in imenovalec pomnožite s sqrt^3 (5)^2
-
Če je imenovalec sestavljen iz seštevanja ali odštevanja dveh kvadratnih korenin, kot sta sqrt (2) + sqrt (6), količnik in imenovalec pomnožite z njuno konjugacijo, ki je iste oblike, vendar z nasprotnim predznakom. Nato […]/(root (2) + root (6)) = […] (root (2) -root (6))/(root (2) + root (6)) (root (2) -root (6)). Nato uporabite formulo identitete za razliko dveh kvadratov [(a + b) (ab) = a^2-b^2], da racionalizirate imenovalec in poenostavite (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- To velja tudi za imenovalce, kot je 5 + sqrt (3), ker so vsa cela korenina drugih celih števil. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- Ta metoda velja tudi za dodajanje korenin, kot je sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Če jih razvrstite v (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) in pomnožite s (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), odgovor ni v racionalni obliki, ampak še vedno v korenu a+b*(30), kjer sta a in b že racionalna števila. Nato ponovite postopek s konjugati a+b*sqrt (30) in (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) bo smiselno. V bistvu, če lahko s tem trikom odstranite en korenski znak v imenovalcu, ga lahko večkrat ponovite, da odstranite vse korenine.
- To metodo lahko uporabimo tudi za imenovalce, ki vsebujejo višji koren, na primer četrti koren 3 ali sedmi koren 9. Pomnožite števec in imenovalec s konjugatom imenovalca. Žal ne moremo neposredno dobiti konjugata imenovanika in to je težko narediti. Odgovor lahko najdemo v knjigi algebre o teoriji števil, vendar se v to ne bom spuščal.
Korak 2. Zdaj je imenovalec v racionalni obliki, vendar je števec videti zmešan
Zdaj morate le pomnožiti s konjugatom imenovalca. Nadaljujte in pomnožite, kot bi pomnožili poline. Preverite, ali je mogoče kateri koli izraz izpustiti, poenostaviti ali združiti, če je mogoče.
Korak 3. Če je imenovalec negativno celo število, števec in imenovalec pomnožite z -1, da bo pozitivno
Nasveti
- Na spletu lahko iščete spletna mesta, ki lahko pomagajo poenostaviti korenske obrazce. Samo vnesite enačbo s korenskim znakom in po pritisku na Enter se prikaže odgovor.
- Za preprostejša vprašanja ne smete uporabiti vseh korakov v tem članku. Za bolj zapletena vprašanja boste morda morali uporabiti več korakov več kot enkrat. Nekajkrat uporabite "preproste" korake in preverite, ali vaš odgovor ustreza standardnim kriterijem oblikovanja, o katerih smo govorili prej. Če je vaš odgovor v standardni formuli, ste končali; če pa ne, lahko preverite enega od zgornjih korakov, da vam to pomaga.
- Večina sklicevanj na "priporočeno standardno formulo" za obliko korenin velja tudi za kompleksna števila (i = koren (-1)). Tudi če stavek namesto korena vsebuje "i", se čim bolj izogibajte imenovalcem, ki še vedno vsebujejo i.
- Nekatera navodila v tem članku predvidevajo, da so vse korenine kvadrati. Ista splošna načela veljajo za korenine višjih sil, čeprav je z nekaterimi deli (zlasti racionalizacijo imenovalca) precej težko delati. Sami se odločite, kakšno obliko želite, na primer sqr^3 (4) ali sqr^3 (2)^2. (Ne spomnim se, kakšna oblika je običajno predlagana v učbenikih).
- Nekatera navodila v tem članku uporabljajo besedo "standardna formula" za opis "običajne oblike". Razlika je v tem, da standardna formula sprejema le obliko 1+sqrt (2) ali sqrt (2) +1, druge oblike pa obravnava kot nestandardne; Navadna oblika predpostavlja, da ste vi, bralec, dovolj pametni, da vidite "podobnost" teh dveh številk, čeprav nista pisno enaki ("isto" pomeni v svoji aritmetični lastnosti (komutacijski seštevek), ne v njihovi algebrski lastnosti (koren) (2) je koren nenegativen x^2-2)). Upamo, da bodo bralci razumeli rahlo malomarnost pri uporabi te terminologije.
- Če se kateri od namigov zdi dvoumen ali protisloven, naredite vse nedvoumne in dosledne korake in nato izberite tisto, ki vam je ljubša.
